专题8.6 立体几何综合练（解析版）

专题8.6立体几何综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）ab、为空间中两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若a∥b，a∥，则b∥B．若ab、为异面直线，则过空间任一点M，存在直线c与ab、都垂直C．若a，b，则a与b相交D．若a不垂直于，且b，则a不垂直于b【答案】B【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质定理等即可判断选项.【详解】对于选项A，若a∥b，a∥，则b或b∥，A错；对于选项C，若a，b，ab或a与b相交，C错；对于选项D，若a不垂直于，且b，a可能与b垂直，D错；对于选项B，过空间一点作两条异面直线的平行线可以确定一个平面，过空间一点作平面的垂线有且只有一条，B正确.故选：B2．（2023春·高一课时练习）球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（）A．4倍B．8倍C．16倍D．32倍【答案】B【分析】设原来球体的半径为R，利用已知条件计算出球的大圆面积增大为原来的4倍后的半径1R，找出前后半径的关系式，然后利用球体的体积公式分别算出前后的体积，相比即可.【详解】设原来球体的半径为R，则原来球体的大圆面积为：24πSR，原来球体的体积为：34π3VR，当球的大圆面积增大为原来的4倍时，此时有大圆面积14SS，设此时大圆半径为1R即大圆面积增大后球体的半径，由22111416π4π2SSRRRR，此时球体体积为：331144ππ833VRR，由3134π8384π3RVVR，所以球的体积增大为原来的8倍.故选：B.3．（2023秋·高二课时练习）以下向量中与向量(1,2,3),(3,1,2)ab都垂直的向量为（）A．(1,7,5)B．(1,7,5)C．(1,7,5)D．(1,7,5)【答案】C【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可得答案.【详解】对于A，(1,2,3)(1,7,5)11415300，故A不正确；对于B，(1,2,3)(1,7,5)1141520，故B不正确；对于C，(1,2,3)(1,7,5)114150，(3,1,2)(1,7,5)37100，故C正确；对于D，(1,2,3)(1,7,5)11415280，故D不正确.故选：C4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）如图1，在高为h的直三棱柱容器111ABCABC-中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为11ABC（如图2），则容器的高h为（）A．22B．3C．4D．6【答案】B【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解.【详解】解：在图（1）中的几何体中，水的体积为122ABCABCVSS,在图（2）的几何体中，水的体积为：11111112111233ABCABCCABCABCABCABCVVVShShSh，因为12VV，可得223ABCABCShS，解得3h.故选：B.5．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在三棱锥PABC中，90APBBPCAPC，M在ABC内，60MPA，45MPB，则MPC的度数为（）A．30B．45C．60D．75【答案】C【分析】先证明“三余弦”定理，利用coscoscosMPBMPQQPB，得到6cos3QPB，从而可得3cos3QPC，再用公式：coscoscosMPCMPQQPC，即可求MPC．【详解】先证明：如图，设A为平面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为平面上任意一条直线，记12,,,OACOABBAC则12coscoscos.证明如下：过B作BCAC于C，由于OB平面，AC,所以,,,OBCABCBOCBCBO平面OBC,故AC平面OBC,OC平面OBC,所以ACCO则12cos,cos,cosACABACOAOAAB,所以12coscoscos过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ．90APBAPC，AP平面PBC，MQ平面PBC，//APMQ60MPA，906030MPQ．由公式：coscoscosMPBMPQQPB，得到6cos3QPBQPC是QPB的余角，所以3cos3QPC再用公式：coscoscosMPCMPQQPC，得到1cos2MPC60MPC故选：C．6．（2023·全国·模拟预测）已知在边长为2的正方体1111-ABCDABCD中，点M在线段11BD上（含端点位置），现有如下说法：①//CM平面1ABD；②1CMAC；③点M到平面11ABCD的距离的最大值为1．则正确说法的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】根据正方体的性质，判断线面，面面位置关系.【详解】在正方体1111-ABCDABCD中，因11//BDBD，BD平面1ABD，11BD平面1ABD，所以11//BD平面1ABD，又因11//ADCB，1AD平面1ABD，1CB平面1ABD，所以1//CB平面1ABD，又1111BDCBB?，11BD平面11CBD，1CB平面11CBD，所以平面1//ABD平面11CBD，因CM平面11CBD，所以//CM平面1ABD，故①正确；因11BCBC，1BCAB，1=BCABB，1BC平面1ABC，AB平面1ABC，所以1BC平面1ABC，又因1AC平面1ABC，11ACBC，同理11ACDC，因11=BCDCC，1BC平面11CBD，1DC平面11CBD，所以1AC平面11CBD，CM平面11CBD，故1CMAC，故②正确；当点M在端点1B时，点M到平面11ABCD的距离为最大值即1122BC，③错误．故选：C．7．（2023秋·高二课时练习）已知二面角l的大小为120，点B、C在棱l上，,,,ADABlCDl，2AB，1BC，3CD，则AD的长为（）A．14B．13C．22D．25【答案】D【分析】根据空间向量的数量积运算及二面角的概念求解.【详解】如图所示，由题意知0ABBCBCCD，又二面角l的大小为120，故,60ABCD，23cos603ABCD，又ADABBCCD，22ADABBCCD2222ABBCCDABBCBCCDABCD222213200320，25AD,即AD的长为25，故选：D8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）腰长为2的等腰ABC的顶角为A，且3cos4A，将ABC绕BC旋转至BCD△的位置得到三棱锥DABC，当三棱锥体积最大时其外接球面积为（）A．50π7B．8πC．7πD．82π7【答案】A【分析】在ABC中，求得2BC，根据题意得到三棱锥DABC体积最大时，平面DBC平面ABC，取BC中点E，得到DEBC，进而得到21//OOOE且21OOOE，设三棱锥DABC外接球的半径为R，分别求得ABC和BCD△的外接圆的半径12,rr，结合222222212()ROODOAErr，进而求得外接球的表面积.【详解】在ABC中，因为32,cos4ABACA，可得2222232cos2222224BCABACABACA，所以2BC，当三棱锥DABC体积最大时，平面DBC平面ABC，因为2DCDB，取BC中点E，则DEBC，设1O为ABC外接圆圆心，O为三棱锥DABC外接球心，则1//OODE，再设2O为BCD△外接圆圆心，1OO平面DBC，则21//OOOE且21OOOE，设三棱锥DABC外接球的半径为R在直角2ODO中，可得ODR且22222ROODO，因为3cos4A，可得7sin1cos4AA所以ABC外接圆半径14142sin7BCrA，所以12147r，因为≌ABCBCD，所以BCD△的外接圆的半径22147r，且AEDE，7sinsin4AD在BCD△中，可得11sin22DBDCDBCDE，可得142DE，所以222222222121421421425()()()27714ROODOAErr，所以外接球的表面积为2504ππ7SR.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023·全国·高三专题练习）空间直角坐标系中，已知0,0,0O，1,2,1OA，1,2,1OB，2,3,1OC，则（）A．2ABB．ABC是等腰直角三角形C．与OA平行的单位向量的坐标为666,,636或666,,636D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为242,,333【答案】AC【分析】本题考查空间向量的坐标运算，利用向量的加减法得出AB坐标，再利用向量的模长公式222121212||()()()ABxxyyzzuuur，可判断A选项；计算出三角形三条边长，可判断B选项；与已知向量平行的单位向量计算公式：||aearrr可判断C选项；根据OA在OB方向上的投影向量与OB向量共线的性质，可判断D选项.【详解】根据空间向量的线性运算，(1,2,1)(1,2,1)(0,0,2)ABOBOAuuuruuuruur222||00(2)2ABuuur，选项A正确；(2,3,1)(1,2,1)(3,1,2)ACOCOAuuuruuuruur222||31(2)14ACuuur(2,3,1)(1,2,1)(3,1,0)BCOCOBuuuruuuruuur222||31010BCuuur计算可得，ABC三条边不相等，选项B不正确；与OA平行的单位向量为：222||(1,2,1)(1)21(1,2,1)6666(,,)636OAeOAuurruur选项C正确；OA在OB方向上的投影向量与OB向量共线，2422,,(1,2,1)3333，选项D不正确，故选：AC.10．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知,ab表示两条不同的直线，,表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（）A．若,aa，则//B．若,,//,aaabb，则//bC．若//,abb，则aD．若//,ab，则//ab【答案】AC【分析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项判断即可.【详解】若,aa，则由直线与平面垂直的性质可得∥，故A正确.若,aab∥，则b，故b与有交点，b∥错误，故B错误.若b，则b垂直平面内的两条相交直线m与n，又ab，则,aman，则a，故C正确.若,ab∥，则ab或a与b异面，故D错误.故选：AC.11．（2023·湖南·校联考模拟预测）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已