题型13 6类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）（解析版）

题型136类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）技法01海伦公式的应用及解题技巧知识迁移海伦-秦九韶公式三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为()()()Sppapbpc其中2abcp，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:222222142abcSab技法01海伦公式的应用及解题技巧技法02射影定理的应用及解题技巧技法03角平分线定理的应用及解题技巧技法04张角定理的应用及解题技巧海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材料题在高考及模考中出现，需加以练习.例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142cabSca，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2abc，则该三角形的面积S．【详解】因为222222142cabSca，所以242312342442S．故答案为：234.1．（2022·全国·校联考模拟预测）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积Sppapbpc，这里2abcp．已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，6a，10bc，则ABC的面积最大值为（）．A．63B．82C．10D．12【答案】D【分析】根据给定信息列出关于b的函数关系，再借助二次函数计算作答.【详解】依题意，82abcp，则22828241016459Sbbbbb，所以5b，max12S，所以ABC的面积最大值是12.故选：D2．（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：Sppapbpc（其中2abcp）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为1027的ABC满足sin:sin:sin2:3:7ABC，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（）A．87B．47C．63D．12【答案】C【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．【详解】∵sin:sin:sin2:3:7ABC，∴::2:3:7abc，∵ABC周长为1027，即1027abc，∴4,a6,27bc，∴4627572p，∴ABC的面积5717715763S．故选：C．3．（2023·海南·校联考模拟预测）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：Sppapbpc，其中2abcp，a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在ABC中，sin:sin:sin8:7:3ABC，且ABC的面积为123，则（）A．角A，B，C构成等差数列B．ABC的周长为36C．ABC的内切圆面积为8π3D．BC边上的中线长度为26【答案】ACD【分析】利用正弦定理和余弦定理可知π3B，满足2π23ACB，即A正确；根据海伦公式可得82a，所以周长为182，故B错误；由等面积法可知内切圆的半径263r，可知C正确，由利用余弦定理可得BC边上的中线长度为26，即D正确.【详解】对于A，由正弦定理可知::8:7:3abc，设8ak，7bk，3(0)ckk，由余弦定理可得2222228371cos22832acbBac，所以π3B，2π23ACB，故角A，B，C构成等差数列，故A正确；对于B，根据海伦公式得9pk，292663123Skkkkk，得2k，所以82a，72b，32c，所以ABC的周长为182，故B错误；对于C，设ABC内切圆的半径为r，则11821232r，得263r，所以ABC的内切圆面积为28ππ3r，故C正确；对于D，设BC的中点为D，则42BD，在ABD△中，222cos6026ADBDABABBD，故D正确．故选：ACD技法02射影定理的应用及解题技巧知识迁移射影定理BcCbacoscos，AcCabcoscos，AbBaccoscos例2．（全国·高考真题）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若2coscoscosbBaCcA，则B．在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0Bπ，∴B＝.三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形射影定理能够快速得到答案，需强化练习1．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若5coscoscosaAbCcB，则sin2A．【答案】4625【分析】由正弦定理得到1cos5A，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.【详解】5coscoscosaAbCcB，由正弦定理得5sincossincossincossinsinAABCCBBCA，因为0,πA，所以sin0A，故1cos5A，由于0,πA，故226sin1cos5AA，则12646sin22sincos25525AAA.故答案为：46252．（全国·高考真题）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos(coscos)CaBbAc.（1）求角C；（2）若7c，332ABCS，求ABC的周长.【答案】（1）3C（2）57【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos(coscos)CaBbAc化成2cos(sincossincos)sinCABBAC，利用和角公式可得1cos,2C从而求得角C；（2）根据三角形的面积和角C的值求得6ab，由余弦定理求得边a得到ABC的周长.试题解析：（1）由已知可得2cos(sincossincos)sinCABBAC12cossin()sincos23CABCCC（2）1313sin362222ABCSabCabab又2222cosababCc2213ab，2()255ababABC∴的周长为57考点：正余弦定理解三角形.3．（2023·全国·统考高考真题）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2222cosbcaA．(1)求bc；(2)若coscos1coscosaBbAbaBbAc，求ABC面积．【答案】(1)1(2)34【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【详解】（1）因为2222cosabcbcA，所以2222cos22coscosbcabcAbcAA，解得：1bc．（2）由正弦定理可得coscossincossincossincoscossincossincossinaBbAbABBABaBbAcABBACsinsinsinsin1sinsinsinABABBBABABAB，变形可得：sinsinsinABABB，即2cossinsinABB，而0sin1B≤，所以1cos2A，又0πA，所以3sin2A，故ABC的面积为1133sin12224ABCSbcA△．4．（上海虹口·高三上外附中校考期中）在ABC中，223coscos222CAacb，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．b，a，c依次成等差数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列【答案】A【分析】根据已知条件，利用三角函数余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化简可得出2acb，即可求出a、b、c关系.【详解】设R是三角形ABC外接圆半径，∵223coscos222CAacb，∴1cos1cos3222aCcAb，即coscos3aaCccAb，即coscos3acaCcAb即coscos2acaCcAbb2sincossincos22sinacRACCAbRB2sin22sinacRACbRB∵A、B、C在三角形ABC中，所以sinsinACB，所以2sin22sinacRACbRB得到2acb，即a，b，c成等差数列，故选：A.【点睛】本题主要考查学生对三角函数余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差数列性质的熟练掌握，解题时要注重整体思想的运用，望同学们平常多加练习.5．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若ABC的面积23ABCS，6ab，coscos2cosaBbACc，则c.【答案】23【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简coscos2cosaBbACc,由C的范围特殊角的三角函数值求出C，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程，变形后整体代入求出c的值.【详解】由coscos2cosaBbACc可得coscos2cos,aBbAcC在ABC中，由正弦定理得：sincossincos2sincosABBACCsin()2sincos,ABCC,ABCsin()sin2sincos,ABCCC1sin0,cos,2CC由0C得，3C由23ABCS得1sin23,2abC得8,ab6,ab∴由余弦定理得2222coscababC2()22cos3616812abababC解得23c，故答案为：23.技法03角平分线定理的应用及解题技巧知识迁移角平分线定理（1）在ABC中，AD为BAC的角平分线，则有CDACBDAB（2）2cos2BACbcADbc（3）2ADABACBDCD（库斯顿定理）（4）ABDACDSABACS例3．（2023·全国·统考高考真题）在ABC中，60,2,6BACABBC，BAC的角平分线交BC于D，则AD．由余弦定理可得，22222cos606bb，因为0b，解得：13b，则2cos2BACbcADbc计算即可，故答案为：2．在解三角形中，应用角平分线定理及其变形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习.1．（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，边BC内上有一点D，证明：AD是A的角平分线的充要条件是ABBDACDC．【答案】证明见解析【分析】证明两个命题为真：一个是由AD是A的角平分线证明ABBDACDC，一个是由ABBDACDC证明AD是A的角平分线．【详解】证明：设p：AD是A的角平分线，q：ABBDACDC．如图，过点B作BE//AC交AD的延长线与点E，（1）充分性（