专题06 解三角形及应用（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题06解三角形及应用易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式sinabAsinbAabababab解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,abc的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到ABC．技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间0,内不严格格单调，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。题设三角形中，已知一个角A和两个边ba,，判断三角形个数，遵循以下步骤第一步：先画一个角并标上字母A第二步：标斜边（非对角边）b第三步：画角的高，然后观察（Abasin,）易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数.例．设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，则下列结论正确的是（）A．若ab，则sinsinABB．若222abc，则ABC为钝角三角形C．若π10,8,3acC，则符合条件的ABC有两个D．若coscosaAbB，则ABC为等腰三角形或直角三角形【详解】A：由正弦定理可知：sinsinabAB，因为ab，所以sinsinAB，因此本选项正确；B：根据余弦定理由22222222coscos0abcabababCC，因为(0,π)C，所以有π(,π)2C，因此该三角形是钝角三角形，所以本选项正确；C：由正弦定理可知：10853sin1sinsinsin832acAACA，所以不存在这样的三角形，因此本选项不正确；D：22222244222coscos022bcaacbaAbBababcabbcac222222200ababcab，或2220abc，当220ab时，可得ab，此时该三角形是等腰三角形；当2220abc时，可得222abc，此时该三角形是直角三角形，故选：ABD变式1．在ABC中，内角、、ABC所对的边分别为,,abc，则下列说法正确的是（）A．coscosabCcB资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．若3abcabcab，且2cossinsinABC，则ABC为等边三角形C．若sin2sin2AB，则ABC是等腰三角形D．在ABC中，1,,30abxA，则使ABC有两解的x的范围是(1,2)【详解】对A，coscosabCcB即sinsincossincosABCCB，即sinsinABC，因为sinsinπsinBCAA，故原式成立，故A正确；对B，3abcabcab则223abcab，即222abcab，故2221cos222abcabCabab，由0,πC可得π3C.又2cossinsinABC可得2cossinsinsincoscossinABABABAB，即sincoscossin0ABAB，故sin0AB，由,0,πAB可得AB.故π3ABC，则ABC为等边三角形，故B正确；对C，当ππ,36AB时，满足sin2sin2AB，则22AB或22πAB，所以AB或π2AB，故ABC不一定为等腰三角形，故C错误；对D，要使ABC有两解，则需sinaabA，故12b，即12x，故D正确.故选：ABD变式2．在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc．则下列结论正确的是（）A．若AB，则coscosABB．若2BCBAAB，则角A为钝角C．若,,ABC均不为直角，则tantantantantantanABCABCD．若π2,2,6abB，则ABC唯一确定【详解】A选项，2ππ,36AB，AB，13cos,cos22AB，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】coscosAB，所以A选项错误.B选项，22cosBCBAABBABCBAB，即cosBCBBA，即cosaBc，由正弦定理得sincossinsinsincoscossinABCABABAB，则cossin0AB，由于0πB，所以sin0B，所以cos0A，所以A为钝角，所以B选项正确.C选项，tantantantantantanABCABABtantantantan1tantanABABAB，tantantantantantanABCABABtantan1tantantantantantantantan1tantan1tantanABABABABABABABtantantantan1tantanABABAB，所以tantantantantantanABCABC，C选项正确.D选项，1sin212aB，所以sinaBba，所以ABC有两解，所以D选项错误.故选：BC变式3．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（）A．若23c，π3B，5b，则满足条件的三角形有且只有一个B．若222sinsinsinBCA，则ABC为钝角三角形C．若222222abbcaacbba，则ABC为等腰三角形D．若ABC不是直角三角形，则tantantantantantanABCABC【详解】对于A，由sin3cB，则53b，又523，知满足条件的三角形只有一个，故A正确；对于B，222sinsinsinBCA，即222222cos02bcabcaAbc，A为钝角，故B正确；对于C，22222222222222abbcaacbbcaacbabbabcac，即coscosaAbB，由正弦定理可得sincossincosAABB，则sin2sin2AB，所以AB或π2AB，故C错误．对于D，因为ABC不是直角三角形，所以tanA，tanB，tanC均有意义，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又π()ABC，所以tantantantan()1tantanBCABCBC，所以tantantantantantanABCABC，故D正确；故选：ABD．1．在ABC中，已知3cos5A，sinBa，若cosC有唯一值，则实数a的取值范围为（）A．40,5B．30,{1}5C．40,{1}5D．4,15【答案】C【分析】由3cos5A可求4sin5A，对a的取值进行讨论，求出使得B唯一时a的取值范围，此时cosC有唯一值.【详解】由3cos5A可得：π0,2A，且24sin1cos5AA，若405a，则sinsinBA，由正弦定理可得ACBC,则BA，所以B为锐角，此时B唯一，则C也唯一，所以cosC有唯一值.当sin1Ba时，π2B，则此时B唯一，则C也唯一，所以cosC有唯一值.当415a时，因为sinBa，根据正弦函数图像易知，sinxa在0,π上存在两个根，所以B存在两个值满足sinBa，所以不成立.故选：C2．在ABC中，角,,ABC所对的边为,,abc，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2sin2AB，则ABC为等腰直角三角形B．若sincosabCcB，则π4CC．若12,10,60abB，则符合条件的ABC有两个D．在锐角三角形ABC中，不等式2220bca恒成立【答案】BD【分析】A选项，由sin2sin2AB得到AB或π2AB，得到答案；B选项，由正弦定理得到sincosCC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从而得到π4C；C选项，sinaBb，故无解；D选项，A为锐角，由余弦定理得到2220bca恒成立.【详解】A选项，sin2sin2AB，0,πAB，故22AB或22πAB，解得AB或π2AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，A错误；B选项，sincosabCcB，由正弦定理得sinsinsinsincosABCCB，因为sinsinsincoscossinABCBCBC，所以sinsinsincossincoscossinBCCBBCBC，故sinsinsincosBCBC，因为0,πB，所以sin0B，故sincosCC，tan1C，因为0,πC，故π4C，B正确；C选项，若12,10,60abB，则sin6310aBb，则符合条件的ABC有0个，C错误；D选项，ABC为锐角三角形，故A为锐角，由余弦定理得，222cos02bcaAbc，故不等式2220bca恒成立，D正确.故选：BD3．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，以下说法中正确的是（）A．若AB，则sinsinABB．若π8,10,4abA，则符合条件的三角形有一个C．若4,5,6abc，则ABC为钝角三角形D．若21sin222Abc，则ABC直角三角形【答案】AD【分析】利用正弦定理以及余弦定理逐一判断各选项即可.【详解】对于A，若AB，则ab，所以由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinAB，故A正确；对于B，若π8,10,4abA，根据正弦定理可得sin10252sin828bABa，0sin1B，又ba，所以B有两解，可以是锐角，也可以是钝角，所以符合条件的三角形有两个，故B错误资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，若4a，5b，6c，由cba得C为ABC的最大角，因为222cab，由余弦定理222cos02abcCab，所以角C为锐角，即ABC为锐角三角形，故C错误；对于D，由21sin222Abc得1cossin122sin2ABC，即sinsincosBCA，又sinsinsincoscossinBACCACA，所以cossin0CA,因为0πA，0πC，所以sin0A，所以cos0C，所π2C，故D正确.故选：AD4．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若AB，则sinsinABB．若30A，4b，3a，则ABC有两解C．若ABC为钝角三角形，则222abcD．若sin2sin2AB，则此三角形为等腰三角形【答案】AB【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理及三角方程即可求解.【详解】对于A，因为AB，所以ab，由正弦定理得sinsinAB，故A正确；对于B，因为30A，4b，3a，所以sinsinabAB,即14sin212sinsin332bABAa