专题4.2 三角函数的图象与性质【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）

专题4.2三角函数的图象与性质【八大题型】【新高考专用】【题型1三角函数的定义域、值域问题】............................................................................................................2【题型2三角函数的图象识别与应用】...............................................................................................................3【题型3由部分图象求函数的解析式】...............................................................................................................4【题型4三角函数图象变换问题】.......................................................................................................................6【题型5三角函数的单调性问题】.......................................................................................................................7【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】............................................................................7【题型7三角函数的零点问题】...........................................................................................................................8【题型8三角函数的图象与性质的综合应用】....................................................................................................91、三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】1.三角函数的定义域的求解思路求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】1.三角函数周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.3.三角函数的奇偶性的判断方法三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).【知识点3三角函数的单调性问题的解题思路】1.三角函数的单调区间的求解方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.【知识点4三角函数的图象变换问题】1.三角函数的图象变换问题的求解方法解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；(2)变同名：函数的名称要变得一样；(3)选方法：即选择变换方法.【题型1三角函数的定义域、值域问题】【例1】（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）函数𝑦=tan𝑥的定义域为（）A．RB．{𝑥|𝑥≠𝑘π2,𝑘∈Z}C．{𝑥|𝑥≠π2+𝑘π,𝑘∈Z}D．{𝑥|𝑥≠π2+𝑘π}【变式1-1】（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)在[0,π2]上的值域为（）A．[−√32,1]B．[−√32,√32]C．[√32,1]D．[0,1]【变式1-2】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥−π6)(𝜔0)在[0,π2]上的值域为[−1,2]，则𝜔的取值范围为（）A．[43,2]B．[43,83]C．[23,43]D．[23,83]【变式1-3】（2023·四川成都·四川省校考模拟预测）当𝑥∈[π6,𝑚]时，函数𝑓(𝑥)=cos(3𝑥+π3)的值域是[−1,−√32]，则m的取值范围是（）A．[π9,7π18]B．[2π9,7π18]C．[π9,5π18]D．[2π9,5π18]【题型2三角函数的图象识别与应用】【例2】（2023·全国·模拟预测）函数𝑓(𝑥)=𝑥3sin𝑥2|−𝑥|的图象大致为（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023·高一课时练习）如图所示，函数𝑦=cos𝑥|tan𝑥|（0≤𝑥3π2且𝑥≠π2）的图像是（）.A．B．C．D．【变式2-2】（2023·四川南充·模拟预测）函数𝑓(𝑥)=𝑥sin𝑥e|𝑥|−1的图象大致为（）A．B．C．D．【变式2-3】（2023·广东·统考模拟预测）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)部分图象如图所示，则函数𝑓(𝑥)的解析式可能为（）A．𝑓(𝑥)=𝑥sin2𝑥B．𝑓(𝑥)=𝑥sin𝑥C．𝑓(𝑥)=2|𝑥|sin𝑥D．𝑓(𝑥)=2|𝑥|sin2𝑥【题型3由部分图象求函数的解析式】【例3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)（其中𝜔0，0𝜑π）的图象如图所示，且满足𝑓(0)=𝑓(𝑥0)=−𝑓(𝑥0+π3)=1，则𝑓(𝑥)=（）A．2sin(2𝑥+π3)B．2sin(2𝑥−π3)C．2sin(3𝑥+π6)D．2sin(3𝑥−π6)【变式3-1】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数𝑓(𝑥)=3sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0,0𝜑π)的部分图象如图所示，则（）A．𝑓(𝑥)=3sin(2𝑥+5π8)B．𝑓(𝑥)图象的一条对称轴方程是𝑥=−5π8C．𝑓(𝑥)图象的对称中心是(𝑘π−π8,0)，𝑘∈ZD．函数𝑦=𝑓(𝑥+7π8)是奇函数【变式3-2】（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴0,𝜔0,|𝜑|π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．点(5π12,0)是𝑓(𝑥)的对称中心B．直线𝑥=7π6是𝑓(𝑥)的对称轴C．𝑓(𝑥)的图象向右平移7π12个单位得𝑦=sin2𝑥的图象D．𝑓(𝑥)在区间[π2,2π3]上单调递减【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=3sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝑥∈𝑅,𝜔0,|𝜑|π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．𝑓(𝑥)=3sin(13𝑥−π12)B．𝑓(3π4)=√32C．不等式𝑓(𝑥)≥32的解集为[6𝑘π+π4,6𝑘π+9π4]𝑘∈𝑍D．将𝑓(𝑥)的图象向右平移π12个单位长度后所得函数的图象在[6π,8π]上单调递增【题型4三角函数图象变换问题】【例4】（2023·四川甘孜·统考一模）为了得到函数𝑦=sin2𝑥+cos2𝑥的图象，可以将函数𝑦=√2cos2𝑥的图象（）A．向右平移π8个单位长B．向右平移π6个单位长C．向左平移π8个单位长D．向左平移π6个单位长【变式4-1】（2023·四川甘孜·统考一模）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴cos(2𝑥+𝜑)(𝐴0,|𝜑|π)是奇函数，且𝑓(3π4)=−1，将𝑓(𝑥)的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为𝑔(𝑥)，则（）A．𝑔(𝑥)=sin4𝑥B．𝑔(𝑥)=sin𝑥C．𝑔(𝑥)=cos(4𝑥+π4)D．𝑔(𝑥)=cos(𝑥+π4)【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)（其中𝐴0,𝜔0,|𝜑|π2）的图象如图所示，为了得到𝑔(𝑥)=cos2𝑥的图象，则只需将𝑓(𝑥)的图象（）A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度【变式4-3】（2023·四川成都·统考二模）将最小正周期为π的函数𝑓(𝑥)=2sin(2𝜔𝑥−π6)+1(𝜔0)的图象向左平移π4个单位长度，得到函数𝑔(𝑥)的图象，则下列关于函数𝑔(𝑥)的说法正确的是（）A．对称轴为𝑥=−π6+𝑘π2，𝑘∈ZB．在[0,π2]内单调递增C．对称中心为(−π6+𝑘π2,1)，𝑘∈ZD．在[0,π2]内最小值为−1【题型5三角函数的单调性问题】【例5】（2023·青海·校联考模拟预测）下列区间中，函数𝑓(𝑥)=3sin(𝑥+π4)单调递增的区间是（）A．(0,π2)B．(π4,5π4)C．(5π4,9π4)D．(π,2π)【变式5-1】（2023上·内蒙古包头·高三校考阶段练习）函数𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象如图所示，则𝑓(𝑥)的单调递减区间为（）A．[𝑘π−14,𝑘π+34]，𝑘∈ZB．[2𝑘π−14,2𝑘π+34]，𝑘∈ZC．[𝑘−14,𝑘+34]，𝑘∈ZD．[2𝑘−14,2𝑘+34]，𝑘∈Z【变式5-2】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数𝑓(𝑥)=cos(2𝑥+𝜑)(0≤𝜑2π)在[−π6,π4]上单调递增，则𝜑的取值范围为（）A．π≤𝜑≤4π3B．π2≤𝜑≤4π3C．