专题3.2 函数的单调性、极值与最值【七大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）

专题3.2函数的单调性、极值与最值【七大题型】【新高考专用】【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】....................................................................................................2【题型2由函数的单调性求参数】.......................................................................................................................3【题型3利用导数求函数的极值（点）】............................................................................................................3【题型4根据极值（点）求参数】.......................................................................................................................4【题型5利用导数求函数的最值】.......................................................................................................................4【题型6已知函数最值求参数】...........................................................................................................................5【题型7函数单调性、极值与最值的综合应用】................................................................................................51、函数的单调性、极值与最值导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大.【知识点1导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点2函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】【例1】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数𝑦=−𝑥2+ln𝑥的单调递增区间为（）A．(12,e)B．(0,e)C．(0,12)D．(0,√22)【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（）A．𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥B．𝑓(𝑥)=ln(−𝑥+√𝑥2+1)C．𝑓(𝑥)=e𝑥+e−𝑥D．𝑓(𝑥)=e𝑥−e−𝑥【变式1-2】（2023·上海静安·统考二模）函数𝑦=𝑥ln𝑥（）A．严格增函数B．在(0,1e)上是严格增函数，在(1e,+∞)上是严格减函数C．严格减函数D．在(0,1e)上是严格减函数，在(1e,+∞)上是严格增函数【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥−2)+ln(4−𝑥)，则𝑓(𝑥)的单调递增区间为（）A．(2,3)B．(3,4)C．(−∞,3)D．(3,+∞)【题型2由函数的单调性求参数】【例2】（2023·广西玉林·统考二模）若函数𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥+1)e𝑥在[1,2]上为增函数，则a的取值范围是（）A．[−12,+∞)B．[−13,+∞)C．[−14,+∞)D．[0,+∞)【变式2-1】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数𝑓(𝑥)=𝑥22−ln𝑥在区间(𝑚,𝑚+13)上不单调，则实数m的取值范围为（）A．0𝑚23B．23𝑚1C．23≤𝑚≤1D．m1【变式2-2】（2023下·重庆·高二校联考期中）若函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎ln𝑥−𝑥−2023(𝑎∈R)在区间[1,+∞)上单调递增，则𝑎的取值范围是（）A．(−∞,1)B．(−∞,1]C．(−∞,−18)D．(−∞,−18]【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数𝑔(𝑥)=𝑎(𝑥−1)2𝑥+1−ln(2𝑥−1)在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,4]B．(−∞,163]C．(4,163]D．(−∞,6]【题型3利用导数求函数的极值（点）】【例3】（2023·全国·模拟预测）函数𝑓(𝑥)=2𝑥−tan𝑥−π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（）A．π2+1，−π2+1B．−π2+1，−3π2+1C．3π2−1，−π2+1D．−π2−1，−3π2+1【变式3-1】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)及其导函数𝑓′(𝑥)的定义域均为𝑅，且𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)=𝑥2e2𝑥,𝑓(0)=0，则𝑓(𝑥)（）A．有一个极小值点，一个极大值点B．有两个极小值点，一个极大值点C．最多有一个极小值点，无极大值点D．最多有一个极大值点，无极小值点【变式3-2】（2023·河北·模拟预测）若函数𝑓(𝑥)=sin𝑥−𝑥(π−𝑥)π，则𝑓(𝑥)极值点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-3】（2023·河南·统考三模）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2ln𝑥，则下列结论正确的是（）A．𝑓(𝑥)在𝑥=1√e处得到极大值−12eB．𝑓(𝑥)在𝑥=√e处得到极大值e2C．𝑓(𝑥)在𝑥=1√e处得到极小值−12eD．𝑓(𝑥)在𝑥=√e处得到极小值e2【题型4根据极值（点）求参数】【例4】（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+ln𝑥𝑏+1在𝑥=1处取得极值0，则𝑎+𝑏=（）A．-1B．0C．1D．2【变式4-1】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+(𝑎+6)𝑥无极值，则𝑎的取值范围为（）A．[−3,6]B．(−3,6)C．(−∞,−3]∪[6,+∞)D．(−∞,−3)∪(6,+∞)【变式4-2】（2023·四川绵阳·统考一模）若函数𝑦=cos(𝜔𝑥+π6)（𝜔0）在区间(−π2,0)上恰有唯一极值点，则𝜔的取值范围为（）A．[13,76]B．(13,76]C．(13,73]D．(23,73)【变式4-3】（2023·高二课时练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+(𝑎+6)𝑥+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．−1𝑎2B．𝑎−3或𝑎6C．−3𝑎6D．𝑎−1或𝑎2【题型5利用导数求函数的最值】【例5】（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）当𝑥=2时，函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑏𝑥2−12𝑥取得极值，则𝑓(𝑥)在区间[−4,4]上的最大值为（）A．8B．12C．16D．32【变式5-1】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知正实数x，y满足𝑦e𝑥=ln𝑥−ln𝑦，则ln𝑥+1𝑥+ln𝑦的最大值为（）A．−1B．0C．1D．2【变式5-2】（2023·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=e2𝑥−2𝑡e𝑥+1+(e2+1)𝑡2−2𝑡ln𝑥+(ln𝑥)2，𝑡∈𝑅，则函数𝑓(𝑥)的最小值为（）A．1eB．1e2+1C．e2e2+1D．2e2e2+1【变式5-3】（2023·陕西汉中·统考一模）设定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)=3𝑥2e−𝑥，且𝑓(0)=0，则下列结论正确的是（）A．𝑓(𝑥)在R上单调递减B．𝑓(𝑥)在R上单调递增C．𝑓(𝑥)在R上有最大值D．𝑓(𝑥)在R上有最小值【题型6已知函数最值求参数】【例6】（2023·广西·统考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥存在最大值0，则𝑎的值为（）A．−2B．−1eC．1D．e【变式6-1】（2023·四川宜宾·统考三模）若函数𝑓(𝑥)={(𝑥−𝑚)2−2,𝑥02𝑥3−3𝑥2,𝑥≥0的最小值是−2，则实数𝑚的取值范围是（）A．𝑚0B．𝑚≤0C．𝑚0D．𝑚≥0【变式6-2】（2023·上海松江·统考二模）已知函数𝑦=13𝑥3−𝑥2−3𝑥+𝑎，𝑎∈𝑅，在区间(𝑡−3,𝑡+5)上有最大值，则实数t的取值范围是（）A．−6𝑡0B．−6𝑡≤0C．−6𝑡2D．−6𝑡≤2【变式6-3】（2023·高二课时练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥3+(𝑎−3)𝑥+1在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．(-e，2)B．(-e，1-e)C．(1，2)D．(−∞,1−𝑒)【题型7函数单调性、极值与最值的综合应用】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=sin𝑥e𝑥+𝑎cos𝑥(𝑎∈𝑅),𝑓′(𝑥)为函数𝑓(𝑥)的导函数．(1)若𝑎≤−2，讨论𝑓′(𝑥)在(0,2π)上的单调性；(2)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)，且𝑔(𝑥)在(0,π)内有唯一的极大值，求实数𝑎的取值范围．【变式7-1】（2023·吉林·统考一模）已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥+