专题5.1 平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷

专题5.1平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】【新高考专用】【题型1平面向量的基本概念】...........................................................................................................................2【题型2平面向量的线性运算】...........................................................................................................................3【题型3向量共线定理的应用】...........................................................................................................................3【题型4平面向量基本定理的应用】...................................................................................................................4【题型5平面向量的坐标运算】...........................................................................................................................5【题型6向量的线性运算的几何应用】...............................................................................................................61、平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的线性运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活求解.【知识点1平行向量有关概念的归纳】1.平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.【知识点2平面向量线性运算问题的解题策略】1.平面向量线性运算问题的求解思路：(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.2.向量线性运算的含参问题的解题策略：与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.3.利用共线向量定理解题的策略：(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.(3)若与不共线且，则.(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.【知识点3平面向量基本定理的探究】1.应用平面向量基本定理求向量的实质应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.【知识点4平面向量坐标运算的方法技巧】1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.【题型1平面向量的基本概念】【例1】（2023·北京大兴·校考三模）设𝑎⃗，𝑏⃗⃗是非零向量，“𝑎⃗⃗|𝑎⃗⃗|=𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|”是“𝑎⃗=𝑏⃗⃗”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则|𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=（）A．12B．1C．√22D．√2【变式1-2】（2023·江苏盐城·统考三模）已知𝐴𝐵𝐶𝐷是平面四边形，设𝑝：𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑞：𝐴𝐵𝐶𝐷是梯形，则𝑝是𝑞的条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【变式1-3】（2022·云南昆明·统考模拟预测）下列有关四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的形状判断错误的是（）A．若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形B．若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为梯形C．若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形D．若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，且𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形【题型2平面向量的线性运算】【例2】（2023·浙江·统考二模）设𝑀是平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线的交点，则𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗B．𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗C．2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗D．12𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗【变式2-1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐴𝐵边上一点，若𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，3𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑚𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑚=（）A．−2B．2C．−1D．3【变式2-2】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是线段𝐵𝐶上一点，满足𝐵𝐷=2𝐷𝐶,𝑀是线段𝐴𝐷的中点，设𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则（）A．𝑥−𝑦=−12B．𝑥+𝑦=−12C．𝑥−𝑦=12D．𝑥+𝑦=12【变式2-3】（2023·河北邯郸·统考三模）已知等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷满足𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑃，且𝐴𝐵=2𝐶𝐷=2𝐵𝐶，则下列结论错误．．的是（）A．𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗B．|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|C．𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗D．𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗【题型3向量共线定理的应用】【例3】（2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝜆,𝜇∈𝑅)，则𝜆𝜇=（）A．−12B．−2C．12D．2【变式3-1】（2023·甘肃武威·统考一模）已知正三角形𝐴𝐵𝐶的边长为6，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝜆∈[0,1]，𝜇∈[0,1]且3𝜆+4𝜇=2，则点𝑃到直线𝐵𝐶距离的最大值为（）A．2√3B．3C．3√3D．3√32【变式3-2】（2023·湖北武汉·统考三模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，M为线段𝐵𝐶的中点，G为线段𝐴𝑀上一点，𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，过点G的直线分别交直线𝐴𝐵，𝐴𝐶于P，Q两点，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑥0)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑦𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑦0)，则4𝑥+1𝑦+1的最小值为（）．A．34B．94C．3D．9【变式3-3】（2024·广东广州·铁一中学校考一模）如图所示，O点在△𝐴𝐵𝐶内部，𝐷,𝐸分别是𝐴𝐶,𝐵𝐶边的中点，且有𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则△𝐴𝐸𝐶的面积与△𝐴𝑂𝐶的面积的比为（）A．32B．23C．43D．34【题型4平面向量基本定理的应用】【例4】（2024·全国·模拟预测）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑡𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡0)，𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝜆0)，若𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆+𝑡的值为（）A．7B．6C．5D．4【变式4-1】（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗⃗，F是DE的中点，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．12𝑎⃗+12𝑏⃗⃗B．−12𝑎⃗+12𝑏⃗⃗C．14𝑎⃗+12𝑏⃗⃗D．−14𝑎⃗+12𝑏⃗⃗【变式4-2】（2023·四川成都·校联考一模）已知平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，若点𝑀是边𝐵𝐶的三等分点（靠近点𝐵处），点𝑁是边𝐴𝐵的中点，直线𝐵𝐷与𝑀𝑁相交于点𝐻，则𝐵𝐻𝐵𝐷=（）A．23B．25C．15D．14【变式4-3】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有△𝐴𝐵𝐶及其内一点O，构成如图所示图形，若将△𝑂𝐴𝐵，△𝑂𝐵𝐶，△𝑂𝐶𝐴的面积分别记作𝑆𝑐，𝑆𝑎，𝑆𝑏，则有关系式𝑆𝑎⋅𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑆𝑏⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑆𝑐⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗．因图形和奔驰车的𝑙𝑜𝑔𝑜很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足𝑎⋅𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑏⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑐⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗，则O为△𝐴𝐵𝐶的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【题型5平面向量的坐标运算】【例5】（2023·全国·模拟预测）已知向量𝑎⃗=(𝑥,1)，𝑏⃗⃗=(2,𝑦)，𝑐⃗=(𝑥,𝑦).若(𝑎⃗+𝑏⃗⃗)⊥(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)，且𝑎⃗//𝑏⃗⃗，则|𝑐⃗|=（）A．√2B．√3C．√5D．√6【变式5-1】（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，在四边形ABCD中，∠𝐷𝐴𝐵=120°，∠𝐷𝐴𝐶=30°，𝐴𝐵=1，𝐴𝐶=3，𝐴𝐷=2，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥+𝑦=（）A．2√3B．2C．3D．6【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知向量𝑎⃗=(−2,cos𝛼)，𝑏⃗⃗=(1,sin𝛼)，且