专题6.4 数列的综合应用（原卷版)

6.4数列的综合应用思维导图典型例题分析考向一求通项公式(2019课标Ⅱ理,19,12分)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.思路分析(1)将两递推关系式左、右两边相加可得an+1+bn+1=12(an+bn),从而证得数列{an+bn}为等比数列;将两递推关系式左、右两边相减可得an+1-bn+1=an-bn+2,从而证得数列{an-bn}为等差数列.(2)由(1)可求出{an+bn},{an-bn}的通项公式,从而得an,bn.考向二求和公式及其应用(2016课标Ⅰ文,17,12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.考向三求参数问题已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求λ.思路分析(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是否为一常数,其中说明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.考向四构造法在数列中的应用数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.评析本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算变形的能力.考向五数列求和的综合问题(2021全国乙文,19,12分)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=𝑛𝑎𝑛3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn𝑆𝑛2.解题指导(1)利用等差中项的概念建立等式,通过等比数列的通项公式即可求出结果;(2)利用等比数列的求和公式算出Sn,对于数列{bn},利用错位相减法求出Tn,再利用比较大小的基本方法——作差法即可证明不等式.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-94,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.方法总结一般地,如果{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.基础题型训练一、单选题1．在等差数列na中，已知112a，公差2d，则12a（）A．10B．12C．14D．162．若数列na的前4项分别是11112345，，，，则该数列的一个通项公式为（）A．1(1)nnanB．(1)1nnanC．(1)nnanD．1(1)1nnan3．在等比数列na中，15a，555S，则公比q等于（）A．4B．2C．2D．2或44．在各项为正的递增等比数列na中，1261356421aaaaaa，，则na（）A．12nB．12nC．132nD．123n5．已知数列na满足10a，21a，222,,2,nnnanaan为奇数为偶数则数列na的前9项和为（）A．35B．48C．50D．516．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，L，即此数列第1项是02，接下来2项是02，12，再接下来3项是02，12，22，L，设nS是数列的前n项和，则2020S（）A．64250B．63250C．64622D．63622二、多选题7．数列na的前n项和为nS，已知27nSnn，则下列说法正确的是（）A．na是递增数列B．1014aC．当4n时，0naD．当3n或4时，nS取得最大值8．设等差数列na的首项为1a，公差为d，其前n项和为nS，已知16170,0SS，则下列结论正确的是（）A．10,0adB．890aaC．8S与9S均为nS的最大值D．90a三、填空题9．已知数列na的前n项和2nSn，则4a__________．10．下面给出一个“直角三角形数阵”：1411,24333,,4816满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为*,(,,N)ijaijij，则83a_____．11．设等比数列na的前n项和为nS，若846SS，则164SS__________.12．在等差数列na中，其前n项和为nS，已知公差202,400dS，则10211iia__________．四、解答题13．已知数列nb中，13b且*130nnbbnN.求数列nb的通项公式.14．已知数列na满足12a，480a，1na是等比数列．（1）求证：31nna；（2）求数列na的前 n项和nS．15．已知等差数列na的前n项和为nS，364,27aS.（1）求na的通项公式；（2）设2nanb，记nT为数列nb的前n项和.若124mT，求m.16．设函数11lnxfxx，设11a，1231,2nnaffffnnnnnnNL．(1)计算1fxfx的值．(2)求数列na的通项公式．提升题型训练一、单选题1．已知等差数列na中，13a，公差3d，则9a等于（）．A．21B．18C．24D．272．等比数列na的前n项和为nS，已知2532aaa，且4a与72a的等差中项为54，则5SA．29B．31C．33D．363．在等差数列na中，已知688aa，则该数列前13项和13S（）A．42B．26C．52D．1044．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列na称为“斐波那契数列”，数列na的前n项和为nS，则下列结论错误的是（）A．854SB．135720192020aaaaaaC．2468202020211aaaaaaD．20202019201820172021SSSSa5．已知等差数列na的前n项和为nS，若11a，36Sa，则12111nSSS（）A．12nnB．21nnC．212nnD．21nn6．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]yx称为“高斯函数”，例如：[2.5]3，[2.7]2．已知数列na满足11a，23a，2123nnnaaa，若21lognnba，nS为数列11nnbb的前n项和，则2023S（）A．20222023B．20242023C．20232024D．20252024二、多选题7．下列说法正确的是（）A．已知数列na是等差数列，则数列nae是等比数列B．已知数列na是等比数列，则数列lnna是等差数列C．已知数列na是等差数列且*naΝ，数列nb是等比数列，则数列nab是等比数列D．已知数列na是等比数列且*naΝ，数列nb是等差数列，则数列nab是等差数列8．已知nS是数列na的前n项和，且121aa，1223nnnaaan，则下列结论正确的是（）A．数列1nnaa为等比数列B．数列12nnaa为等比数列C．1213nnnaD．10202413S三、填空题9．已知等比数列na满足3432aa且22a，则1a________.10．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.11．在数列na中，已知24a，315a，且数列nan是等比数列，则na___.12．设nS是数列na前n项和，且1111,nnnaaSS，则数列na的通项公式na_________.四、解答题13．求数列na的通项公式为27nan；设nS为数列na的前n项和，求使5nS成立的n的取值集合.14．已知数列na是等比数列，12a，且234,2,aaa成等差数列.数列nb满足：2312N2123nbbbbnnnn.(1)求数列na和nb的通项公式；(2)求证：31211223346N1111nnnaaaanababababn.15．已知数列na的首项11a，且*132nnnaanN，2nnnba.(1)计算1b，2b，3b的值，并证明nb是等比数列；(2)记(1)nnnca，求数列(23)nnc的前n项和nS.16．已知数列na满足递推式1212nnaan，其中415a．（1）求1a，2a，3a；（2）求证数列1na是等比数列，并求数列na的通项公式；（3）已知数列nb有1nnnba，求数列nb的前n项和nS．