2.2 基本不等式（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.2基本不等式（精讲）一．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．二．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.三．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．一．基本不等式求最值满足条件利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.(1)“一正”就是各项必须为正数.(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.二．利用基本不等式求最值常见形式与方法（1）配凑法①形如𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)(其中f(x)是二次函数,g(x)是一次函数)的最值,常见分子中的自变量变形为分母的形式后,构造满足基本不等式的条件求最值.②配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.（2）常值代换法已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求𝑎𝑥+𝑏𝑦的最值以及形如或可化为𝑎𝑥+𝑏𝑦=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将𝑎𝑥+𝑏𝑦看作是(𝑎𝑥+𝑏𝑦)·𝑥+𝑦𝑡或cx+dy看作是cx+dy=(cx+dy)·(𝑎𝑡𝑥+𝑏𝑡𝑦),变形后利用基本不等式求最值.（3）消元法对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.三．恒（能）成立含参数的问题①分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解分离参数法→恒成立问题{参数（≥）函数的最大值参数（≤）函数的最小值分离参数法→存在性问题{参数（≥）函数的最小值参数（≤）函数的最大值四．利用基本不等式求解实际问题(1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式变形利用基本不等式求得函数的最值.(2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.考法一直接法求最值【例1-1】（2023广西）函数220yxxx的最小值为（）A．12B．2C．22D．4【答案】D【解析】∵0x，则220,0xx，∴222242yxxxx，当且仅当22xx，即1x时，等号成立，故函数220yxxx的最小值为4.故选：D.【例1-2】（2022·北京大兴）当02x时，(2)xx的最大值为（）A．0B．1C．2D．4【答案】B【解析】02x，20x，又(2)2xx2(2)(2)14xxxx，当且仅当2xx，即1x时等号成立，所以(2)xx的最大值为1故选：B【例1-3】（2023·安徽滁州·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足233918aabacbc，则233abc的最小值是（）A．6B．46C．62D．63【答案】C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】233918333183318aabacbcaabcababac，因为a，b，c均为正数，所以有2331833233622abacabacabc，当且仅当33abac时取等号，即332,abbc时取等号，故选：C【一隅三反】1．（2022·广东茂名）若a，b都为正实数且1ab，则2ab的最大值是（）A．29B．18C．14D．12【答案】D【解析】因为a，b都为正实数，1ab，所以212222abab，当且仅当ab，即11,22ab时，2ab取最大值12.故选：D2．（2023云南）若5xy,那么44xy的最小值是（）A．64B．128C．642D．1282【答案】A【解析】544442226444xyxyxy(当且仅当52xy时,取等号).故选A3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数x，y满足22xy，则923xy的最小值为（）A．62B．42C．32D．22【答案】A【解析】22923292322322362xyxyxy，当且仅当99log(32),1log2xy时等号成立，所以923xy的最小值为62.故选：A.4．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若0a，0b，2ab，则abab的最小值为（）A．22B．2C．1D．2【答案】D【解析】由已知可得2ababab.因为0a，0b，由基本不等式知12abab，当且仅当1ab时，等号成立.所以01ab，所以11ab，所以22ababab，所以abab的最小值为2.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D.考法二配凑法求最值【例2-1】（2023内蒙古）已知x＞1，则821xx的最小值为（）A．8B．6C．12D．10【答案】D【解析】因为1x，所以810,01xx，所以8882212221210111xxxxxx，当且仅当8211xx，即3x时，等号成立，故821xx的最小值为10.故选：D【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）函数2614(1)1xxyxx的最小值是（）A．10B．12C．13D．14【答案】A【解析】令10,1xtxt，22216114614491ttxxttyxtt9942410tttt，当且仅当9tt，即32tx时取等号.故选：A【一隅三反】1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）函数413313yxxx的最小值为（）A．8B．7C．6D．5【答案】D【解析】因为13x，所以3x－10，所以444331123115313131yxxxxxx，当且仅当43131xx，即x=1时等号成立，故函数413313yxxx的最小值为5．选：D．2．（2023·云南）函数25301xxfxxx…的最小值是（）A．1B．3C．6D．12【答案】A【解析】2539170.11xxfxxxxx…因为0x，…所以912961xx…，(当且仅当13x，即=2x时，等号成立).故()fx最小值为1，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A3．（2022·江苏）当0x时，函数231xxyx的最小值为（）A．23B．231C．231D．4【答案】B【解析】因为0x，所以23333112112311111xxyxxxxxxx，当且仅当311xx，即31x时，等号成立．故选：B．4．（2023北京）函数222116141xxfxx的最大值是（）A．2B．74C．54D．34【答案】C【解析】由题意，函数22224222422116111611617141168141xxxxxxfxxxxx24222991111681168xxxxx又由221168xx，当且仅当22116xx，即12x时等号成立，所以229251116168xx，所以2295114168xx即函数fx的最大值是54.故选：C.考法三常数替代求最值【例3-1】（2022·安徽）已知0x，0y，22xy，则12xy的最小值是（）A．1B．2C．4D．6【答案】C【解析】因为0x，0y，22xy，所以121121414222424222yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，即12x，1y时取等号；故选：C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例3-2】（2023春·湖南）已知正实数a，b满足24ab，则111ab的最小值是（）A．1B．3328C．3226D．133【答案】C【解析】由已知可得，216ab，所以12116ab.又,0ab，1111121116ababab1112261baab112361baab1122361baab132222366.当且仅当121baab，即626a，532b时，等号成立.所以，111ab的最小值是3226.故选：C.【例3-3】．（2022·贵州毕节）已知0x，0y，且4xy，则2241xyxy的最小值为（）A．4B．72C．254D．5【答案】C【解析】由于0x，0y，且4xy，则224141212112542444444xyxyxyyxxyxyxyxyxy，当且仅当4yxxy，即823xy时，等号成立，故2241xyxy的最小值为254.故选：C．【例3-4】（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知14a，则141aaa的最小值是______．【答案】2【解析】14a，40,10aa，14114114114141341aaaaaaaaa41411414515212341341aaaaaaaa，当且仅当41441aaaa，即2a时等号成立，141aaa的最小值是2.故答案为：2.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知,xy都是正数，且2xy，则4121xy的最小值为__________．【答案】95/1.8【解析】因为,xy都是正数，且2xy，则(2)(1)5xy,则41141(2)(1)()21521xyxyxy14(1)214(1)29[5](52)5215215yxyxxyxy,当且仅当4(1)221yxxy，结合2xy，即23x，13y时取等号，故答案为：952．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数0ab，且5ab，则1112ab的最小值为___________.【答案】12【解析】0,10,20abab，5,128abab，111881121212812812ababababab