2.2 基本不等式（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.2基本不等式（精练）1．（2023春·安徽宿州）正项等比数列na中，2023202220212aaa，若2116mnaaa，则14mn的最小值等于（）A．1B．32C．53D．136【答案】B【解析】由等比数列na中，设公比为q，且0q，由2023202220212aaa得22qq，故2q=，由2116mnaaa得222111162166mnmnaaqamn，141141413596662nmmnmnmnmn==，当且仅当2nm，即4,2nm时等号成立，故14mn最小值为32，故选：B2．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数2log0,0fxaxbab恒过定点2,0，则1bab的最小值为（）．A．221B．22C．3D．22【答案】A【解析】由题意可知21ab，则1222121221bbabbabaabababab，当且仅当222a，21b时，1bab的最小值为221，故选:A．3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若0a，0b，则242baab的最小值为（）A．2B．2C．22D．4【答案】C【解析】0,0ab，22444222222babaaababa，当且仅当242ab，即22,42ab时等号成立，所以242baab的最小值为22.故选：C.4．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知0x，0y，且24xyxy，则2xy的最小值是（）A．4B．5C．7D．9资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C【解析】方法一：因为24xyxy，故142yxy，解得2222211yxyy，故4424(1)132(1)711xyyyyy,当且仅当411yy，即1y，3x时等号成立.方法二：因为24xyxy，则212xy，且10y，故20x，故22(2)(1)322(2)(1)37xyxyxy，当且仅当221xy，即1y，3x时等号成立.故选：C.5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）下列选项正确的是（）A．2abbaB．44xxC．222sinsin的最小值为22D．2212xx的最小值为12【答案】D【解析】当ab与ba为负数时，2abba显然不成立，选项A不正确；因为x不一定为正数，当x为负数时，44xx显然不成立，选项B不正确；令2sin0,1t，所以2tt的最小值为3，当且仅当2sin1时，取到最小值，选项C不正确；2222112222xxxx，因为222x≥+，所以221112222222xx，当且仅当0x时，取到最小值，选项D正确．故选：D．6．（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知正数,,xyz满足2221xyz，则2(1)2zxyz的最小值为（）A．322B．6C．323D．5【答案】A【解析】因为,,xyz正实数，且2221xyz，所以22212zxyxy，当且仅当xy时取等号，则222(1)(1)11132222(1)(1)3223(1)1zzzxyzzzzzzz，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当211zz，即21z时取等号，此时取得最小值322，故选：A．7．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知1a，1b，3100ab，则log103log10ab的最小值为（）A．4B．6C．8D．12【答案】B【解析】因为3100ab，所以3lg2ab，即3lglg2ab，所以131131lg9lglog103log103lglg6lglg2lglg2lglgabbaabababab1lg9lg6262lglgbaab≥，当且仅当lg3lgba，即1310a，10b时等号成立，所以log103log10ab的最小值为6.故选：B.8．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点(1,4)A在直线10,0xyabab上，若关于t的不等式253abtt恒成立，则实数t的取值范围为（）A．6,1B．1,6C．,16,D．,61,【答案】A【解析】因为点(1,4)A在直线10,0xyabab上，所以141ab，故14445259babaabababab=ab，当且仅当4baab且141ab，即3,6ab时等号成立，因为关于t的不等式253abtt恒成立，所以2953tt，解得61t，所以61t,.故选：A9．（2023春·海南海口·高三校联考阶段练习）设x、1y，0z，若2zxy，则lglg2lg4lgzzxy的最小值为（）A．3284B．1222C．4234D．22资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A【解析】因为x、1y，0z，2zxy，则2lglgzxy，即2lglglgzxy，由题意可得lg0x，lg0y，所以，lglg2lg2lglglglglg3lglg2lg4lg4lg8lg4lg8lg84lg8lgzzzzxyxyyxxyxyxyxy3lglg32284lg8lg84yxxy，当且仅当lglg4lg8lgyxxy时，即当2xy时，等号成立，故lglg2lg4lgzzxy的最小值为3284.故选：A.10．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若0x，则41xx的最小值为__________．【答案】3【解析】因为0x，由基本不等式得：444112113111xxxxxx，当且仅当411xx，且0x，即1x时等号成立．故答案为：311．（2023·江苏盐城）实数x，y满足221xy，则152xy的最大值为__________．【答案】485【解析】由222251692259125161525252212215242xyxyxyxyxy222222101553252348225()3835855xyxyxy，当且仅当435354xyxy，即3545xy时等号成立，所以152xy的最大值为485.故答案为：48512．（2023·全国·高三专题练习）函数2322xxyxx的最小值为_________．【答案】11资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由2(2)5(2)992522xxyxxx，又20x，所以92(2)5112yxx，当且仅当922xx，即5x时等号成立，所以原函数的最小值为11.故答案为：1113．（2023·全国·高三专题练习）函数233()=21xfxxx在(1,)上的最大值为_______________．【答案】37【解析】因为233()=21xfxxx，(1,)x，令1xt，则0t，则223333322(1)(1)12327223223ttfttttttttt，当且仅当22tt，1t即2x时，等号成立．故()fx的最大值为37．故答案为：3714．（2022·安徽）已知1x，2231xxx的最小值为____________.【答案】22【解析】由1x，则22122322121221111xxxxxxxxx，当且仅当211xx时，即21x时取等号，此时取得最小值22．故答案为：2215．（2022春·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数28(1)1xfxxx的最小值为___．【答案】8【解析】因为1x，令10tx，则1xt，又因为28(1)1xfxxx，可得22(1)89922ttftttttt，因为9926tttt，当且仅当9tt时，即3t，即4x时，等号成立，所以min8ft，即fx的最小值为8.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：8.16．（2023春·重庆）已知0a，0b，1ab，则23abab的最大值为____________．【答案】526【解析】由已知0a，0b，1ab，则12323ababba，而23232323()()525526abababbabababa，当且仅当23abba时等号成立，故23abab的最大值为1526526.故答案为：526.17．（2023春·湖南）若0,0ab，且2242ab，则21ab的最大值为________.【答案】522【解析】由0,0ab，且2242ab可得222(110)ab，则222222(1)2)125212222222(10aababb，当且仅当22)2(1ab，结合2242ab，即65,2ab时取等号，即21ab的最大值为522，故答案为：52218．（2023春·重庆九龙坡）已知0,0ab，且3abab，则ab的最小值为___________.【答案】22【解析】因为3abab，解得：32111abaa，则21221abaa当且仅当21a，21b时，“=”成立故答案为：22.19．（2023秋·天津河北·高三统考期末）已知0a，0b，且39abab，则3ab的最小值为______.【答案】6【解析】由39abab得：93abab，又0a，0b，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2113393332ababab（当且仅当3ab时取等号），231231080abab，解得：318ab（舍）或36ab，当33ab时，3ab取得最小值6.故答案为：6.20．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于x的不等式4142xax对任意2x恒成立，则正实数a的取值集合为______．【答案】|04aa【解析】∵4142xax，则421842xaxa，原题意等价于421842xaxa对任意2x恒成立，由0a，2x，则4210,02xax，可得4242114222xxaxaxa，当且仅当4212xax，即22ax时取得等号，∴8440aaa，解得04a．故正实数a的取值集合为|04aa.故答案为：|04aa．21．（2023春·福建福州）已知0x，0y，若2282yxmmxy恒成立，则实数m的取值范围是_____.【答案】4,2【解析】0x，0y，282828yxyxxyxy，当且仅当28yxxy，即2yx时等号成立，228mm，解得42m.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：4,2.22．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知0,0ab，若不等式313