3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.5幂函数与一元二次函数（精讲）一．幂函数(1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】单调性在R上单调递增(－∞，0]上单调递减；(0，＋∞)上单调递增R上单调递增[0，＋∞)上单调递增(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1，1)二．一元二次函数1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域RR值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减；在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a，上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称3．根与系数的关系二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，其图象与x轴有两个交点M1(x1，0)，M2(x2，0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两个根，且x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一．幂函数的性质与图象特征的关系1.解析式：幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2.奇偶性:判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3.单调性：(1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增．(2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(3)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．4.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α0，0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．二．一元二次函数1.解析式2.二次函数图象（1）是看二次项系数的符号；（2）是看对称轴和顶点；（3）是看函数图象上的一些特殊点．3.二次函数图象与性质(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是求定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．4．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一幂函数的性质【例1-1】（2023·海南·统考模拟预测）已知25mfxmmx为幂函数，则（）．A．fx在,0上单调递增B．fx在,0上单调递减C．fx在0,上单调递增D．fx在0,上单调递减【答案】B【解析】因为25mfxmmx是幂函数，所以251mm，解得2m或3m，所以2fxx或3fxx，对于2fxx，函数在0,上单调递增，在,0上单调递减；对于3fxx，函数在0,上单调递减，且为奇函数，故在,0上单调递减；故只有B选项“fx在,0上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B【例1-2】（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：①34yx；②23yx；③32yx；④23yx；⑤32yx；⑥13yx；⑦13yx．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【解析】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故13yx满足；图象（2）关于y轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故23yx满足；图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故32yx满足；图象（4）关于y轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故23yx满足；图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故13yx满足；图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x增大递减，故34yx满足；图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x增大递增，故32yx满足；故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C【例1-3】（2023·江苏）已知函数fxx是偶函数，且在区间0,上单调递增，则下列实数可作为值的是（）A．-2B．12C．2D．3【答案】C【解析】对选项A：2，2fxx，函数在0,上单调递减，错误；对选项B：12，12fxx，函数定义域为0,，不是偶函数，错误；对选项C：2，2fxx，函数定义域为R，2fxxfx，函数为偶函数，且在0,上单调递增，正确；对选项D：3，3fxx，函数定义域为R，3fxxfx，函数为奇函数，错误；故选：C【一隅三反】1.（2023·上海黄浦·统考二模）若函数ayx的图像经过点(2,16)与(3,)m，则m的值为____________．【答案】81【解析】由题意函数ayx的图像经过点(2,16)与(3,)m，则162,4，则4yx资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故4381m，故答案为：812．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数1101()fxx，若182fafa，则a的取值范围是__________.【答案】(3,4)【解析】由幂函数1110101011()fxxxx，可得函数fx的定义域为(0,)，且是递减函数，因为182fafa，可得18210820aaaa，解得34a，即实数a的取值范围为(3,4).故答案为：(3,4).3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）幂函数233mfxmmx在区间0,上单调递减，则下列说法正确的是（）A．4mB．fx是减函数C．fx是奇函数D．fx是偶函数【答案】C【解析】函数233mfxmmx为幂函数，则2331mm，解得4m或1m.当4m时，4fxx在区间0,上单调递增，不满足条件，排除A；当1m时，1fxx在区间0,上单调递减，满足题意.函数1fxx在,0和0,上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且1()()fxfxx，所以函数()fx是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.4．（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数pqyx（,pqZ且p与q互质）的图像如图所示，则（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．p、q均为奇数且0pqB．p为奇数，q为偶数且0pqC．p为奇数，q为偶数且0pqD．p为偶数，q为奇数且0pq【答案】D【解析】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定0pq，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.考法二指数式比较大小【例2】（2023·浙江·高三专题练习）已知1.21.31.11.1,1.2,1.3abc，则（）A．cbaB．abcC．cabD．acb【答案】B【解析】1.21.21.31.11.21.2ab，又因为通过计算知431.21.3，所以0.30.3431.21.3，即1.20.91.21.3，又0.10.11.21.3，所以1.311.11.21.31.3c，所以abc.故选：B【一隅三反】1．（2023·河北）已知0.325a，0.313b，0.313c，则a，b，c的大小关系为（）A．acbB．abcC．bcaD．bac【答案】D【解析】由于幂函数0.3yx在0,上单调递增，又0.325a，0.313b，0.30.3133c，12335，所以0.30.30.312335，则bac.故选：D.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·全国·高三专题练习）已知233a，342b，134c，则（）A．cabB．bcaC．bacD．cba【答案】D【解析】由213339a，314428b，134c，则111334889ba，ca，又14223loglog84b，13222loglog43c，则22loglogcb，即cb，所以cba．故选：D．考法三二次函数性质【例3-1】（2023·云南）已知二次函数fx满足(2)1,(1)()ffxfx，且fx的最大值是8，则此二次函数的解析式为()fx（）A．2447xxB．2447xxC．2447xxD．2447xx【答案】A【解析】根据题意,由(1)()fxfx得:()fx的对称轴为12x，设二次函数为21()(0)2fxaxka，因()fx的最大值是8,所以a0,当12x时,182fk，即二次函数21()8(0)2fxaxa，由(2)1f得:21(2)2812fa,解得：4a，则二次函数221()484472fxxxx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A.【例3-2】（2023·山西）若函数2()2(1)2fxxax在区间(,4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．3aB．3aC．5aD．3a【答案】B【解析】函数2()2(1)2fxxax在区间(,4]上是减函数，所以2142a，解得3a，故选：B.【例3-3】（2023·山东淄博）设2()44fxxx的定义域为[2,1]tt，对于任意实数t，则fx的最小值()t__________．【答案】2261,38,3488,4ttttttt【解析】2()44fxxx可化为2()28fxx，当12t，即3t≤时，函数fx在[2,1]tt上单调递减，所以当1xt时，函数fx取最小值，最小值为2(1)61fttt，当22t，即4t时，函数fx在[2,1]tt上单调递增，所以当2xt时，函数fx取最小值，最小值为2(2)88fttt，当34t时，函数fx在[2,2]t上单调递减，在2,1t