4.2 利用导数求单调性（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.2利用导数求单调性（精讲）函数的单调性与导数的关系一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下关系：①在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调增区间；②在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调减区间．③在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．易错点：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.一．利用导数求函数单调区间的方法法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间；（无参函数）确定函数单调区间的步骤①确定函数f(x)的定义域．②求f′(x)．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开．二．根据函数单调性求参数的一般思路法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．三．含参函数单调性的分类讨论1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．3.讨论点一般有三类：①自变量系数a分a0，a＝0，a0，②判别式Δ分Δ0，Δ＝0，Δ0，③两根的大小分x1x2，x1＝x2，x1x2.四．单调性的应用1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较．2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式．3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．五．易错点1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．注意：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一利用导数求函数的单调区间（无参）【例1-1】（2023春·湖北）函数()(2)exfxx的单调递增区间是（）A．(,1)B．(1,)C．(1,2)D．(0,3)【答案】B【解析】()(2)eRxxfxx，()e(2)ee(1)xxxfxxx，令()e(1)0xfxx，解得1x，所以函数()(2)exfxx的单调递增区间是(1,).故选：B【例1-2】（2023春湖南）函数ln()xfxx的单调递增区间是（）A．(,e)B．(0,e)C．10,eD．1,e【答案】B【解析】21lnxfxx令()0fx¢，得ln1,0exx，∴当(0,e)x时，fx单调递增.故选：B【一隅三反】1．（2023春·河南）函数2ln2fxxx的单调递减区间为（）A．,1B．0,1C．0,2D．2,【答案】C【解析】2ln2fxxx的定义域为0,，12212212xfxxxx，由0fx，可得0,2x，故2ln2fxxx的单调递减区间为0,2.故选：C．2．（2023春·吉林长春）函数321132fxxx的单调递增区间是（）A．,1,0,B．,10,C．1,0D．,01,【答案】A【解析】由题意得2(1)fxxxxx，令()0fx¢，解得0x或1x，故其单调增区间为资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(,1),(0,)，故选：A.3．（2023春·山东）若函数2123ln2fxxxx，则函数fx的单调递减区间为（）．A．0,1，3,B．0,2，3,C．0,3D．1,3【答案】C【解析】2123ln2fxxxx，函数定义域为0,，23232xxfxxxx，令0fx，解得03x，则函数fx的单调递减区间为0,3.故选：C.考法二导函数图像判断原函数图像【例2-1】（2023春·广东）已知函数fx的图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．fx在区间,1上单调递减B．fx在区间1,4上单调递增C．当47x时，fx0D．当1x时，fx=0【答案】C【解析】由图像可知函数fx的增区间为1,4（），减区间为,1,4,（）（），故AB正确；由单调性可知，函数fx在1,4xx处取得极值，所以10f，D正确；当47x时，函数fx单调递减，所以0fx，C错误.故选：C【例2-2】（2023·广西）设fx是函数fx的导函数，yfx的图象如图所示，则yfx的图象最有可能的是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．B．C．D．【答案】C【解析】由导函数的图象可得当0x时，()0fx¢，函数fx单调递增；当02x时，0fx，函数fx单调递减；当2x时，()0fx¢，函数fx单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.【一隅三反】1．（2023·山东）已知函数()fx的导函数()fx图像如图所示，则()fx的图像是图四个图像中的（）．A．B．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．D．【答案】A【解析】由题意可知，当20x时，()0fx¢，则fx在2,0上单调递增，当02x时，0fx，则fx在0,2上单调递减，当21x时，fx单调递增，则fx在2,1上增的越来越快，当10x时，fx单调递减，则fx在1,0上增的越来越慢，当01x时，fx单调递减，则fx在0,1上减的越来越快，当10x时，fx单调递增，则fx在1,2上减的越来越慢，只有A选项符合.故选：A.2．（2023·山西）函数yfx的图象如图所示，则（）A．30fB．30fC．30fD．3f的符号不确定【答案】B资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】如图所示，fx在1,5上单调递减，所以30f故选：B3．（2023春·河南新乡）已知定义在区间(,)ab上的函数()fx的导函数为()fx，()fx的图象如图所示，则（）A．()fx在13,xx上单调递增B．3()fxfxC．曲线()yfx在1xx处的切线的斜率为0D．()fx最多有3个零点【答案】D【解析】设01,xax，且00fx．由图可得，当02,,xaxxb时，()0fx，当02,xxx时，()0fx．所以()fx的单调递增区间为0,ax，2,xb，单调递减区间为02,xx．故()fx最多有3个零点．排除ABC.故选：D4．（2023·海南）已知函数yfx的图象是下列四个图象之一，且其导函数yfx的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．B．C．D．【答案】B【解析】由导函数图象知，(1,1)x，()0fx恒成立，即函数()yfx在[1,1]上单调递增，而函数()fx在[1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，因此在[1,0]上，函数()yfx的变化率逐渐增大，即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD不满足，在[0,1]上，函数()yfx的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓，选项C不满足，选项B符合题意.故选：B.考法三已知函数单调性求参数【例3-1】（2023春·北京海淀）已知函数2lnfxaxx，若fx在区间[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是___________；若fx在区间[1,2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是__________.【答案】12，18，【解析】因为2()lnfxaxx，0x1()2fxaxx，()fx在区间1,2内单调递增，()0fx在1,2上恒成立，120axx在1,2上恒成立，212ax在1,2上恒成立，2max12ax，1,2x，因为在1,2，2max1122x12a，则a的取值范围是：12，.若()fx在1,2上存在单调递增区间，则()0fx在1,2上有解，即212ax在1,2上有解，2min12ax，又2min1128x，18a.则a的取值范围是：18，.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：12，；18，.【例3-2】（2023·天津）若函数343yxbx有三个单调区间，则b的取值范围是（）A．0bB．0bC．0bD．0b【答案】A【解析】24yxb，因为函数有三个单调区间，所以160b，解得：0b.故选：A【例3-3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数2()ln2xfxx在区间1(,)3mm上不单调，则实数m的取值范围为（）A．203mB．213mC．213mD．m1【答案】B【解析】函数2()ln2xfxx的定义域为(0,)，且2(11)1)1)((xfxxxxxxx，令()0fx，得1x，因为()fx在区间1(,)3mm上不单调，所以0113mmm，解得：213m故选：B.【一隅三反】1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数elnxfxax在区间1,2上单调递增，则a的最小值为（）．A．2eB．eC．1eD．2e【答案】C【解析】依题可知，1e0xfxax在1,2上恒成立，显然0a，所以1exxa，设e,1,2xgxxx，所以1e0xgxx，所以gx在1,2上单调递增，