5.4 正余弦定理（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5.4正余弦定理（精练）1．（2023·重庆）在ABC中，若21,3cos3,BCACC，则sinB（）A．306B．155C．106【答案】A【解析】由题意可得1,3BCaACb，ABc，由余弦定理可得2222222cos1321363cababC，即6c，又2cos,(0,π)3CC，可得5sin3C，利用正弦定理可知sinsinbcBC,所以53sin303sin66bCBc.故选：A.2．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）已知ABC中，5AB，7BC，9CA，则CAB（）A．ππ,65B．ππ,54C．ππ,43D．ππ,32【答案】C【解析】由题意，在三角形ABC中，由余弦定理可得，22225814957cos225990ABACBCCABABAC，且257cos4290π，157cos3290π，所以4ππ,3CAB.故选:C3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在ABC中，3,7,2ACBCAB，则AB边上的高等于（）A．23B．332C．262D．32【答案】B【解析】在ABC中，因为3,7,2ACBCAB，由余弦定理得22297427cos27237ACBCABCACBC资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为0,πC，所以221sin1cos7CC=-=设AB边上的高为h，则11sin22ABCSACBCCABh，所以2137sin33722ACBCChAB，即AB边上的高等于332.故选：B.4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中）在ABC中，若60C，2cab，则ABC的形状是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】D【解析】由余弦定理知222cos2bacCab，因为2cab，60C，所以221cos6022baabab，所以20ab，所以ba，因此BA，所以60BAC，即ABC是等边三角形，故选：D.5．（2023春·江苏南通）如图所示，河边有一座塔OP，其高为20m，河对面岸上有,AB两点与塔底O在同一水平面上，在塔顶部测得,AB两点的俯角分别为45和30，在塔底部O处测得,AB两点形成的视角为150，则,AB两点之间的距离为（）A．10mB．103mC．207mD．1042m【答案】C【解析】因为在塔顶部测得,AB两点的俯角分别为45和30，所以在直角三角形PAO中，45PAO，可得20mAOPO，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在直角三角形PAO中，30PBO，可得203mtan30POBO，在AOB中，由题知150AOB，由余弦定理得22232cos4001200220203()28002ABOAOBOAOBAOB，得到207mAB.故选：C.6．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记ABC的内角,,ABC的对边分别为a，b，c，若coscos0aAbAC，则ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由coscos0aAbAC，得coscos0aAbB，由正弦定理得sincossincos0AABB，所以sin2sin2AB，因为022π,022πAB，所以22AB或22πAB，所以AB或π2AB.即ABC是等腰或直角三角形.故选：D.7．（2023·四川成都·校考模拟预测）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知coscos2BbCac，334ABCS△，且3b，则（）A．1sin2CB．3cos2BC．23acD．ac32【答案】C【解析】coscos2BbCac，由正弦定理可得cossincos2sinsinBBCAC，整理可得sincos2sincossincosBCABCB，所以sincossincossin()sin2sincosBCCBBCAAB，A为三角形内角，sin0A，∴1cos2B，∵(0,π)B，π3B，则3sin2B，故B错误；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵334ABCS△，3b，331133sin42224acBacac，解得3ac，由余弦定理2222cosbacacB得22223()3()9acacacacac，解得23ac或23ac（舍去），故C正确，D错误.又22223()()3acacacacac，所以ac，则三角形ABC为等边三角形，所以π3C，则3sin2C，故A错误.故选：C.8．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）在ABC中，角,,ABC的边分别为,,abc，知60B，4b，则下列判断中错误的是（）A．若π4A，则463aB．若92a该三角形有两解C．ABC周长的最小值为12D．ABC面积的最大值43【答案】C【解析】对于A，60,4Bb，π4A，由正弦定理得sinsinbaBA，所以24sin2sin34632bAaB，故A正确；对于B，由正弦定理得sinsinbaBA得，所以93sin9322sinsin1416aBBAb，因为abAB，则A有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；对于C，由2222cosbacacB，得2222223116()3()()()44acacacacacacac，所以8ac，当且仅当4ac时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C错误；对于D，由选项C知，22162acacacacac，当且仅当4ac时取等号，故13sin4324ABCSacBac所以ABC面积的最大值为43，故D正确.故选：C.9．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57米.塔身八面，每面雕有一佛胁侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视为质点）从资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进64米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若23BCAC，则该八角观音塔的高AB约为（）（31.73）A．63米B．61米C．57米D．54米【答案】C【解析】不妨设ACx，根据条件可得32BCBEx，52ABACBCx，tanABADBBD，53tan2ABBDxADB，533()6422DEBDBEx，6422.6553322x，5572ABx米．故选：C．10．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知ABC中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点（靠近点A）且1CD，sinsinsinabAcbCB，则2ab的最大值是（）A．23B．22C．2D．4【答案】A【解析】由()()()aabcbcb，则222aabcb，即222abcab，所以2221cos22abcACBab，(0,π)ACB，则π3ACB，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设ACD，则π3BCD，且π03，△ACD中sinsinADCDA，则sinsinADA，△BCD中πsinsin()3BDCDB，则πsinsin()3BDB，又223cBDAD，即π(sin2sin)sinsin()33cAB，2sincRACB（R为△ABC的外接圆半径），所以313π(2sin4sin)sincossin()6223RARB，即π223sin()3ab，又ππ2π333，故ππ32，π6时，max(2)23ab.故选：A11．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）（多选）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知::5:6:7abbcca，则下列结论正确的是（）A．sin:sin:sin2:3:4ABCB．ABC为钝角三角形C．若6a，则ABC的面积是615D．若ABC外接圆半径是R，内切圆半径为r，则165Rr【答案】BD【解析】设5,6,7abtbctcat，则3,2,4atbtct，对于A，sin:sin:sin3:2:4ABC，故A不正确；对于B，c最大，所以C最大，2221cos024abcCab，故B正确；对于C，若6a，则2t，4,8bc，所以115cossin44CC，所以ABC的面积是1115sin64315224SabC，故C不正确；对于D，若正弦定理88152sin1515ctRtC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】ABC的周长9lt，21315sin24SabCt，所以内切圆半径为2156Srtl，所以165Rr.故D正确.故选：BD12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）（多选）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若2c，4b，2π3A，则BC边上的中线AD长为7B．若π3B，2b，3c，则ABC有两个解C．若ABC不是直角三角形，则一定有tantantantantantanABCABCD．若ABC是锐角三角形，则一定有sinsinsincoscoscosABCABC【答案】CD【解析】对于A，由D为BC的中点得：222211244ADABACABACABAC2212π12cos41683434cbbc，所以BC边上的中线AD长为3，故A错误；对于B，π3B，2b，3c，因为sinsinbcBC，所以33sin332sin242cBCb，所以π03C或π2π23C，又因为bc，所以π03C，且C只有一个解，所以ABC只有一个解，故B错误；对于C，因为tantantan1tantanBCBCBC，所以tantantan1tantanBCBCBC，又因为tantanπtanBCAA，所以tantantan1tantantantantantanBCABCAABC，所以tantantantantantanABCABC，故C正确；对于D，因为ABC是锐角三角形，所以π2AB，又π,0,2AB，所以ππ022BA，所以π2sinsinAB，所以sincosAB，同理sincos,sincosBCCA，所以sinsinsincoscoscosABCABC，故D正确.故选：CD.13．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）（多选）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（）A．若sinsinaAbB，则ABC为等腰三角形B．若coscosaAbB，则ABC为等腰三角形资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．若60B，2bac，则ABC为等边三角形D