5.4 正余弦定理（精讲）（解析版）

5.4正余弦定理（精讲）一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形边化角：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC角化边：sinA＝a2RsinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosC＝a2＋b2－c22ab二．三角形常用面积公式1.S＝12a·ha(ha表示边a上的高)．2.S＝12absinC＝12acsin_B＝12bcsin_A．3.S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．三．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解四．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．五．盘点易错易混1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R2.三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．一．正、余弦定理的选用1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．二．求解三角形面积问题1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；2.若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；4.代数式变形或者三角恒等变换前置；5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.考法一常见的边角互换模型【例1-1】（2023春·湖南）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足22()bcabc，若3a，则ABC外接圆的半径长为（）A．3B．1C．2D．12【答案】B【解析】由22()bcabc可得222bcabc，再由余弦定理可得：2221cos222bcabcAbcbc，故π3A，因为3a，所以322,sin32aRA则1R.故选：B.【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若coscosaBbAc，且5C，则B（）A．10B．5C．310D．25【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得sincossincossinABBAC，即sincossincossinsincossincosABBAABABBA，整理可得sincos0BA，由于0,πB，故sin0B，据此可得πcos0,2AA，则ππ3πππ2510BAC.故选：C.【例1-3】（2022·安徽马鞍山·一模）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，设22(sinsin)sin(22)sinsinBCABC，2sin2sin0AB，则sinC（）A．12B．32C．624D．6+24【答案】C【解析】在ABC中，由22(sinsin)sin(22)sinsinBCABC及正弦定理得：22()(22)bcabc，即2222bcabc，由余弦定理得：2222cos22bcaAbc，而0180A，解得135A，由2sin2sin0AB得21sinsin22BA，显然090B，则30B，15C，所以62sinsin(6045)sin60cos45cos60sin454C.故选：C【例1-4】（2022·重庆）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，记ABC外接圆半径为R，且222sinsin(2)sinRABacC，则角B的大小为________．【答案】4【解析】由正弦定理：2sinsinsinabcRABC故2sin,2sinRAaRBb即222sinsin(2)sinsinsin(2)sinRABacCaAbBacC22222(2)2abaccacbac故2222cos22acbBac，又(0,)B故4B故答案为：4【一隅三反】1．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2232abbc，sin22sinCB，则A＝（）A．5π6B．3π4C．2π3D．7π12【答案】B【解析】sin22sinCB，由正弦定理得22cb，因为2232abbc，所以由余弦定理得222232322cos22222bcacbccAbcbcb，因为0,πA，所以3π4A.故选：B2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos3cosbAaB，2a，则c＝（）A．4B．6C．22D．23【答案】D【解析】因为cos3cosbAaB，根据正弦定理得sincos3sinsincosBAAAB，移项得sincossincos3sinAAABA，即sin3sinABA，即sin3sinCA，则根据正弦定理有323ca．故选：D.3．（2023春·福建南平）（多选）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知coscos2BbCac，334ABCS△，且3b，则（）A．1cos2BB．3cos2BC．3acD．23ac【答案】AD【解析】coscos2BbCac，由正弦定理可得cossincos2sinsinBBCAC，整理可得sincos2sincossincosBCABCB，所以sincossincossin()sin2sincosBCCBBCAAB，A为三角形内角，sin0A，∴1cos2B，∵(0,π)B，π3B，故A正确，B错误；∵334ABCS△，3b，331133sin42224acBacac，解得3ac，由余弦定理2222cosbacacB，得22223()3()9acacacacac，解得23ac或23ac（舍去），故D正确，C错误.故选：AD.4．（2023·四川）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3tantan0coscABaB，则A=（）A．π6B．π4C．π3D．2π3【答案】D【解析】由题意知，3tantancoscABaB，3sinsincoscoscoscABaBAB，3cossincossincoscAABBAa，3cossinsincAABCa，由正弦定理，得3sincossinsinCACA，又sin0C，所以3cos1sinAA，即tan3A，由0A，得23A.故选：D考法二三角形的周长与面积【例2-1】（2023·广东）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a，3sin2A，4coscosacbAC，则ABC的面积为______.【答案】3【解析】因为4coscosacbAC，所以由正弦定理可得sinsin4sincoscosACBAC所以sinsincoscossinsin4sincoscoscoscoscoscosACACACBBACACAC，因为sin0B所以1coscos4AC因为3sin2A，则1cos2A，则1cos2C，所以ABC为等边三角形，故ABC的面积2334Sa故答案为：3【例2-2】（2023·山东青岛·统考三模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin2tancBacC．(1)求角B；(2)若c＝3a，D为AC中点，13BD，求ABC的周长．【答案】(1)π3B；(2)827．【解析】（1）∵2sin2tancBacC，所以sin2sinsin(2sinsin)cosCCBACC，sin0C，则2sincos2sinsin2sin()sinBCACBCC2(sincoscossin)sinBCBCC，整理得2sincossinCBC，又sin0C，∴1cos2B，而(0,π)B，∴π3B；（2）3ca，由余弦定理得222222π2cos923cos73bacacBaaaaa，7ba，D是AC中点，则72ADCDa，在ABD△中由余弦定理得，2271394cos72132aaADBa，在CBD△中由余弦定理得，227134cos72132aaCDBa，πCDBADB，coscos0CDBDB，∴222277139134407721321322aaaaaa，解得2a，所以ABC的周长为73827abcaaa．【一隅三反】1．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为222222142acbSac，若2sin2sinaCA，226acb，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为（）A．32B．3C．12D．1【答案】A【解析】由2sin2sinaCA得22,2acaac，由226acb得222622acbac，故22222221123442422acbSac，A2．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中3tan24C，C为钝角，且cos2cosbABa.(1)求角B的大小；(2)若ABC的面积为6，求ABC的周长.【答案】(1)π4B(2)22256【解析】（1）依题意，有cos2cosbAaB，由正弦定理，得sincos2sincosBAAB，则tan2tanBA.22tan3tan21tan4CCC，23tan8tan30CC，C为钝角，tan3C（1tan3C舍去），2tantan3tantantanπtan31tantantan2ABBCABABABB，即2tantan20BB，因为C为钝角，所以B为锐角，所以tan1B（tan2B舍去），即π4B.（2）22sintan3,sincos1cosCCCCC，310sin10C，10cos10C；πABC，πABC，sinsinπsinsi