6.3 利用递推公式求通项（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.3利用递推公式求通项（精练）1．（2023·全国·高三专题练习）数列na中，11a，11nnanan（n为正整数），则2022a的值为（）A．12022B．12021C．20212022D．20222021【答案】A【解析】因为11nnanan，所以1134321221232111432nnnnnaaaaannaaaaaannn，所以202212022a，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列na满足11a,11nnnaan,则（）A．1nanB．nanC．数列na为递增数列D．数列na为递减数列【答案】BC【解析】因为数列na满足，11a，11nnnaan，则当2n时，11nnanan，1212nnanan，……，2121aa，所有的式子相乘得1nana，即nan，当1n时也符合通项，故nan，数列na为递增数列，故选：BC3．（2023·高三课时练习）在数列na中，若12a，1121nnaan，则na的通项公式为______．【答案】2nnan【解析】由题意知1121nnaan，故112(1)21nnanann，故321121222321221nnnaaaaaaaann22nnnn，故答案为：2nnan4．（2023广东）已知数列na满足112221nnanana，．求数列na的通项公式；【答案】112nnna资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】数列na满足112221nnanana，，11221nnanan，112111211131222122nnnnnnnaaannnaanaaann，且101122a，所以当n=1时成立.所以112nnna.5．（2023·福建）已知正项数列na满足221112444nnnnananaaa，.求na的通项公式；【答案】321nannnn【解析】由221144nnnnnanaaa可得：1140nnnnnanaaa，因为na为正项数列，所以140nnnana，所以14nnanan，则12123321123nnnnnnaaannnananan，，，……，32216521aaaa，，将这n1个式子相乘，则1321321432124nnnnnnnnnaa，又因为124a，所以321nannnn6．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列na满足11a，12121nnnana．求na的通项公式；【答案】21nan【解析】由12121nnnana及11a，得0na，所以12121nnanan，当2n时，有1342112321nnnnnaaaaaaaaaaaa21237531212325531nnnnn．当1n时，11211a，符合上式，所以21nan．7．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】465【解析】设三角垛第n层小球的个数为na.由题意可知，11a，2132aa，3263aa，43104aa，所以，当2n时，有1nnaan.所以，11a，2132aa，3263aa，43104aa，L1nnaan，两边同时相加可得，123412311234nnaaaaaaaaan，所以，112342nnnan.当1n时，11212a，满足题意.所以，12nnna.所以，3030314652a.8．（2023春·广东佛山）已知nS是数列{}na的前n项和，11a，23nnnSa，则{}na的通项公式为【答案】(1)2nnna【解析】由23nnnSa得*1112,2,N3nnnSann，两式相减得:112133nnnnnnSSaa,资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即11323nnnnanaa，即11133nnnnaa，即111nnanan，*2,Nnn.所以2131aa，3242aa，4353aa，…，111nnanan.相乘得：324123aaaaaa…1345123nnaa…11nn，即1112nnnaa，因为11a，所以12nnna，*2,Nnn.当1n时，111112a，所以*(1),21,Nnnnnna.9．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列na，则6=a【答案】107【解析】∵na能被3除余2且被7除余2，∴2na既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且0na，∴2211nan，即2119nan，∴6=216-19=107a．10．（2023春·黑龙江双鸭山·）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为_______.【答案】4951【解析】设该高阶等差数列为{}na，由其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，得11a，211aa，322aa，433aa，L，1009999aa，所以121324310099aaaaaaaaa112399，即10099(199)112399149512a.即该数列的第100项为4951.故答案为：4951.11．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列na的各项均不为零，且满足11a，111nnnaana（2n，*Nn），则na的通项公式na__________．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】21nn【解析】111nnnaana，则111111nnnnnaaana，设1nnba，1111ba，则1nnbbn，11221111212nnnnnnnbbbbbbbbnn，而11b也符合该式，故12nnnb，故121nnabnn.故答案为：21nn12．（2023·河南新乡·统考三模）已知数列na满足18a，14nnaan，则nan的最小值为__________．【答案】6【解析】由14nnaan得，当2n时，14(1)nnaan，124(2)nnaan，…，214aa，将这n1个式子累加得1[4(1)4](1)2(1)2nnnaann，则2(1)8nann，1n时也适合，所以88222226nannnnn，当且仅当2n时，等号成立.故答案为：6.13．（2023·全国·高三专题练习）已知11a，且1(2)nnnanna，则数列na的通项公式为___________.【答案】2nan【解析】等式两侧同除(1)(2)nnn，得1(1)(2)(1)(1)(2)1nnaannnnnn，所以1(1)(2)(1)(1)(2)1nnaannnnnn(111)(2)nn，令(1)nnabnn，所以1(12)1)(1nnbbnn，则211123bb，323411bb，434511bb，……，111(1)nnbbnn，累加得：1112(1)nbbn，而11122ab，故1(1)11nbnnn，即(1)1nannnn，整理得2nan.故答案为：2nan资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（2023·全国·高三专题练习）记数列na的前n项和为nS，已知11a，13nnSna，则na______【答案】(1)2nn【解析】由已知可得，1=3nnnSa.当1n时，21113aSa，所以23a；当2n时，有11=3nnnSa，1=3nnnSa，两式相减得，1133nnnaaann，所以12nnnaan.所以有11a，213aa，3242aa，4335aa，L111nnnaan，两边同时相乘可得，1234naaaaa12341451132321nnnaaaaann1234112nnnaaaaa，整理可得，(1)2nnna.当1n时，11212a，满足该式，22332a，满足该式，故(1)2nnna.故答案为：(1)2nn.15．（2023·山东泰安·统考模拟预测）数列na的前n项和为nS，满足121nnSSn，且13S，则na的通项公式是______．【答案】13,121,2nnnan【解析】121nnSSn，112nnSnSn，且1120S，112nnSnSn，nSn是以2为首项，2为公比的等比数列．1222nnnSn，2nnSn．2n时，1nnnaSS112(12)21nnnnn，且13a不满足上式，所以13,121,2nnnan．故答案为：13,121,2nnnan.16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na中，12(1)(1)nnnanann且11a，则数列na的通项公式为_____________.【答案】·21nnan【解析】∵12(1)(1)nnnanann，等式两侧同除(1)nn，可得1211nnaann，令nnabn，则121nnbb，∴112(1)nnbb，又111120ba，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴1nb是以2为首项，2为公比的等比数列，∴11222nnnb，即21nnb，∴21nnan，即·21nnan.故答案为：·21nnan.17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na中，11a，134nnaa，则数列na的通项公式为_____________.【答案】32nna【解析】因为1