9.5 三定问题及最值（精练）（教师版）

9.5三定问题及最值（精练）1．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为53，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，||4AC．(1)求E的方程；(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线2y交于点N．求证：//MNCD．【答案】(1)22194xy(2)证明见解析【解析】（1）依题意，得53cea，则53ca，又,AC分别为椭圆上下顶点，4AC，所以24b，即2b，所以2224acb，即22254499aaa，则29a，所以椭圆E的方程为22194xy.（2）因为椭圆E的方程为22194xy，所以0,2,0,2,3,0,3,0ACBD，因为P为第一象限E上的动点，设,03,02Pmnmn，则22194mn，易得022303BCk，则直线BC的方程为223yx，033PDnnkmm，则直线PD的方程为33nyxm，联立22333yxnyxm，解得332632612326nmxnmnynm，即332612,326326nmnMnmnm，而220PAnnkmm，则直线PA的方程为22nyxm，令=2y，则222nxm，解得42mxn，即4,22mNn，又22194mn，则22994nm，2287218mn，所以12264122326332696182432643262MNnnmnnmknmnmnmnmmnmn222222648246482498612369612367218nmnmnmnmnmmnmnmnnm22222324126482429612363332412nmnmnmnmnmnmnmnm，又022303CDk，即MNCDkk，显然，MN与CD不重合，所以//MNCD.2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的离心率是53，点2,0A在C上．(1)求C的方程；(2)过点2,3的直线交C于,PQ两点，直线,APAQ与y轴的交点分别为,MN，证明：线段MN的中点为定点．【答案】(1)22194yx(2)证明见详解【解析】（1）由题意可得222253babccea，解得325abc，所以椭圆方程为22194yx.（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设1122:23,,,,PQykxPxyQxy，联立方程2223194ykxyx，消去y得：222498231630kxkkxkk，则2222Δ64236449317280kkkkkk，解得0k，可得2121222163823,4949kkkkxxxxkk，因为2,0A，则直线11:22yAPyxx，令0x，解得1122yyx，即1120,2yMx,同理可得2220,2yNx，则1212121222232322222yykxkxxxxx12211223223222kxkxkxkxxx1212121224342324kxxkxxkxxxx222222323843234231084949336163162344949kkkkkkkkkkkkkkk，所以线段MN的中点是定点0,3.3．（2006·湖南·高考真题）已知221:143xyC，抛物线22:()2(0)Cympxp，且12CC、的公共弦AB过椭圆1C的右焦点．(1)当ABx轴时，求m、p的值，并判断抛物线2C的焦点是否在直线AB上；(2)是否存在m、p的值，使抛物线2C的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)0m，98p，焦点不在直线AB上；(2)存在，63m或63m，且43p.【解析】（1）由题意得椭圆的右焦点为(1,0)，当ABx轴时，,AB关于x轴对称，由抛物线方程得2ypxm，要使BAyy，需0m，此时直线AB的方程为1x，代入22143xy，得32y，所以331,,1,22AB，因为A在抛物线上，所以924p，得98p，此时2C的焦点坐标为9,016，该焦点不在直线AB上；（2）假设存在m、p的值，使抛物线2C的焦点恰在直线AB上，由（1）知直线AB的斜率存在，所以可设直线AB的方程为(1)ykx，由22(1)143ykxxy，得2222(34)84120kxkxk，设1122(,),(,)AxyBxy，则2122834kxxk，由2(1)2ykxympx，得22222()()0kxkkmpxkm，所以21222()kkmpxxk，因为2C的焦点,2pFm恰在直线AB上，所以12pmk，所以2122(2)pkxxk，所以22228(2)34kpkkk，所以4228342kpkk，因为AB过1C，2C的焦点，所以1212112222ABxxxxp，所以2212223124124()423443kkpxxkk，所以42222841243342kkkkk，化简得42560kk，解得26k，所以6k，所以2241236443273kpk，所以代入12pmk得63m，所以满足条件的m、p存在，此时63m或63m，且43p.4．（2023·河南·校联考二模）已知椭圆2222:10xyEabab的左、右焦点分别为12,FF，左、右顶点分别为12,AA，2F是2OA（O为坐标原点）的中点，且12222FFAF.(1)求E的方程；(2)不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于,AB两点（,AB异于椭圆E的顶点），直线12,AABA与y轴的交点分别为,MN，若222233ANAOAOAM，证明：直线l过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)22143xy(2)证明见解析，定点为1,0【解析】（1）设椭圆E的半焦距为0cc，2F是2OA的中点，2ac，21222222FFAFcacc，解得：1c，2a，22213b，椭圆E的方程为：22143xy.（2）由（1）得：12,0A，22,0A，设1122,,,AxyBxy，则直线1AA的方程为1122yyxx，直线2BA的方程为2222yyxx，1120,2yMx，2220,2yNx，222233ANAOAOAM，3ONMO，即229ONMO，2221222143622yyxx，又2221113123344xxy，2222223123344xxy，2221222144922xxxx，即122192222xxxx，整理可得：12125280xxxx；①若直线AB的斜率存在，设直线:ABykxt，由22143ykxtxy得：2223484120kxktxt，其中2248340kt，122834ktxxk，212241234txxk，代入式得：222841252803434kttkk，整理可得：224540kkttktkt，4tk或tk，当4tk时，直线:44ABykxkkx，恒过点4,0，如图所示，此时点M与N在x轴的同一侧，不满足3ONMO，故舍去；当tk时，直线:1ABykxkkx，恒过点1,0，符合题意，如图所示，②若直线AB的斜率不存在，则12xx，由12125280xxxx得：222540xx，解得：21x或24x，此时直线AB的方程为1x或4x，又直线4x与椭圆不相交，故舍去，1x满足条件，:1ABx，恒过点1,0.综上所述：直线AB恒过定点1,0.5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知圆1O：22114xy，圆2O：224914xy，圆M与圆1O外切，且与圆2O内切．(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)若A，B，Q是C上的三点，且直线AB不与x轴垂直，O为坐标原点，OQOAOB，则当AOB的面积最大时，求22的值．【答案】(1)22143xy(2)1【解析】（1）由题意设圆M的半径为r，则112MOr，272MOr，所以121242MOMOOO，故圆心M的轨迹是以11,0O，21,0O为焦点，4为长轴长的椭圆，所以1c，2a，则23b，所以C的方程为22143xy．（2）设11,Axy，22,Bxy，00,Qxy，直线AB的方程为ykxt．将ykxt代入22143xy，整理得2223484120kxktxt，22284344120ktkt，即22430kt，则122834ktxxk，212241234txxk，所以21212124xxxxxx222226443441234ktktk222483434ktk，故222212214834134kktABkxxk．又原点O到直线AB的距离为21tdk，所以12AOBSABd△2222212334341tkktkk2222233434kttk222234232334kttk，当且仅当22234ktt，即22342kt（*）时，等号成立．由OQOAOB，得012012,xxxyyy，代入2200143xy，整理得2222221122121221434343xyxyxxyy，即2212122143xxyy（**）．而121212124343kxtkxtxxyyxx221212344412kxxktxxt2222241283444343412tktkkttkk22223434tkk，由（*）可知1212043xxyy，代入（**）式得221．故22的值为1.6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆222210xyabab的离心率为32，椭圆的上顶点到右顶点的距离为5．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点(2,2)D作直线与椭圆交于A、B