题型16 11类数列通项公式构造解题技巧（原卷版）

题型1611类数列通项公式构造解题技巧技法01用na与nS关系求通项公式的解题技巧知识迁移2,1,11nssnsannn技法01用与关系求通项公式的解题技巧技法02已知用累加法求通项公式的解题技巧技法03已知用累乘法求通项公式的解题技巧技法04已知用求通项公式的解题技巧技法05已知用求通项公式的解题技巧技法06已知用求通项公式的解题技巧技法07已知用求通项公式的解题技巧技法08已知用求通项公式的解题技巧技法09已知用求通项公式的解题技巧技法10已知用求通项公式的解题技巧技法11构造常数列求通项公式的解题技巧用与关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可.例1．（2022·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．（1）因为221nnSnan，即222nnSnnan①，当2n时，21121211nnSnnan②，①②得，22112212211nnnnSnSnnannan，即12212211nnnannana，即1212121nnnanan，所以11nnaa，2n且N*n，所以na是以1为公差的等差数列．1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，14a且*14NnnaSn.(1)求数列na的通项公式;(2)若1221(1)lognnnnbna，求数列nb的前n项和nT.2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记nS为数列na的前n项和，且13a，2nnSnann．(1)求数列na的通项公式；(2)设1111nnnnnnaabaa，求数列nb的前n项和nT．3．（2023·广东·统考二模）记数列na的前n项和为nS，已知16a，且满足1213nnnSSaa.(1)求数列na的通项公式；(2)记数列nb的前n项和为nT，若32nnbna，312nnba，32nnban，求35T.技法02已知nfaann1用累加法求通项公式的解题技巧知识迁移相消求和为分式函数，构造裂项求和为指数函数，构造等比求和为一次函数，构造等差列为常数，构造成等差数，若形如nfnfnfnfAanfaann11,例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列{na}中，13a，11(1)nnaann，求通项公式na．原递推式可化为1111nnaann，则21321111,1223aaaa，431134aa，…，1111nnaann，逐项相加，得111naan，故14nan．1．（2023上·江苏·高三专题练习）已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式．2．（2023·江苏南京·校考二模）已知数列na的前n项和为nS，满足*111,112,nnananannN.(1)求23,aa的值，并求数列na的通项公式.(2)令12nnnba，求数列nb的前n项和.3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列na满足21111,3nnnaaaanN，则（）累加法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累加的类型，需强化练习.A．100521002aB．100510032aC．100731002aD．100710042a4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列na满足111,N1nnnaaana.记数列na的前n项和为nS，则（）A．100332SB．10034SC．100942SD．100952S技巧技法03已知nfaann1用累乘法求通项公式的解题技巧知识迁移累乘法函数等比数列常数为，若：形如nfnfaaAanfaannnn111,例3．（2022·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)证明：121112naaa．（1）∵11a，∴111Sa,∴111Sa,又∵nnSa是公差为13的等差数列，累乘法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累乘的类型，需强化练习.∴121133nnSnna,∴23nnnaS,∴当2n时，1113nnnaS，∴112133nnnnnnanaaSS,整理得：111nnnana,即111nnanan,∴31211221nnnnnaaaaaaaaaa1341112212nnnnnn，显然对于1n也成立，∴na的通项公式12nnna；1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列na满足：111,42nnnaaan.(1)求数列na的通项公式；(2)若(1)(21)nnnbna，求数列nb的前n项和nS.2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，21S，11122nnaan．(1)求数列na的通项公式；(2)证明：2nS．3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列na满足11a，111nnaan.(1)求证：数列2na为等差数列；(2)设22111nnnnnbaaaa，求数列nb的前n项和nT.技法04已知qpaann1用nnapa1求通项公式的解题技巧知识迁移为等比数列使得可用待定系数展开为等比数列？，使得存在这样的此类型题关键在于是否为首项的等比数列，为公比，以是以数列成立，使得：数构造：假设存在一个实为常数其中形如nnnnnnnnnnnnnnnnnapqpqppaaapaapaapaaapapaaapaqpqpaa111,,1111111111例4．?,2,8311通项公式求nnnaaaa已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解，是高考的常考题型，需强化练习436364643434443443111111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa为首项的等比数列为公比，以是以数列解得：成立，使得：解：假设存在一个实数1．（2023·湖南张家界·统考二模）数列na中，12a，121nnaa.(1)求数列na的通项公式na；(2)若nnban，求数列nb的前n项和nT.2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列{}na中，15a，且122nnaa，nS为其前n项的和．(1)求数列{}na的通项公式；(2)求满足不等式1|26|2023nSn的最小正整数n的值；(3)设223()mbm，124()()33nnnaCn，其中0，若对任意m，*nN，总有73mnbc成立，求的取值范围．3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列na满足11a，121nnaa.(1)证明：数列1na是等比数列，并求数列na的通项公式；(2)设11nnnnabaa，求数列nb的前n项和nT.4．（2023·山东德州·三模）已知nS为数列na的前n项和，112,32nnaSan．(1)求数列na的通项公式na；(2)设12nnnnbaa，记nb的前n项和为nT，证明：15nT．5．（2023·贵州遵义·统考三模）已知nS为数列na的前n项和，且满足2nnSna，*nN.(1)求证：数列1na是等比数列；(2)若12nnnnbaa，记nT为数列nb的前n项和，求满足不等式1314nT的n的最大值.技法05已知nfpaann1用BnAapBAnann11求通项公式的解题技巧例5．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）在数列na中，已知112242,4nnaanna．(1)求na的通项公式；(2)求数列24nnna的前n项和．（1）因为12242nnaann，所以122212nnanann，又1220a，所以2nan是首项为2，公比为2的等比数列．所以22nnan，即22nnan；已知用求通项，可以套模板来灵活解题，其本质是待定系数，需强化练习.1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在数列na中，111,22nnaaan．(1)证明：数列11nnaa为常数列．(2)若14nnnab，求数列nb的前n项和nT．2．（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）在数列na中，11a，且1321nnaan.(1)证明：数列nan是等比数列；(2)求数列na的通项公式；(3)求数列2nnan的前n项和nT.技法06已知nnnqpaa1用qqaqpqannnn111求通项公式的解题技巧例6．（2023·浙江·模拟预测）已知数列na的前n项和为111,1,22nnnnSaaa(1)试求数列na的通项公式；(2)求nS.已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题（1）由题意1122nnnaa，两边同时除以12n，将其变形为11122nnnnaa，即11122nnnnaa，由等差数列的定义可知2nna是以首项为11122a、公差为1d的等差数列，所以12111222nnann，即1212nnan.1．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列na的前n项和为nS，1122nnnSa．(1)证明：12nna是等差数列；(2)求数列1nnaa的前n项积．2．（2022下·全国·高三校联考开学考试）已知数列na中，11a，23a，1*21223nnnnaaanN.(1)设12nnnnaab，求证nb是等差数列；(2)求na的通项.技法07已知nnnqapaa12用nnnnkaahkaa112求通项公式的解题技巧已知用求通项公式，其本质是待定系数法，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题例7．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列na满足12a，24a，212nnnaaa.(1)证明：数列na为等比数列.(2)数列nb满足112122nnnabbb，求数列nb的前n项和nS.（1）212nnnaaa，2112(2)nnnnaaaa．已知12a，24a，得2120aa，可得120nnaa，数列{}na为以2为首项，以2为公比的等比数列1．（2024上·河北保定·高二保