专题10 立体几何综合（原卷版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1专题10立体几何综合目录一览2023真题展现考向一求二面角考向二求距离真题考查解读近年真题对比考向一求三棱锥体积考向二求二面角命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一求二面角1．（2023•新高考Ⅱ•第20题）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点．（1）证明BC⊥DA；（2）点F满足𝐸𝐹→=𝐷𝐴→，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．考向二求距离资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】22．（2023•新高考Ⅰ•第18题）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．（1）证明：B2C2∥A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．【命题意图】考查线面平行与垂直、空间几何体的表面积与体积、空间角等．【考查要点】命题会涉及到线面平行与垂直的证明，等体积法求空间几何体的体积，空间向量法求空间距离、空间角，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想．【得分要点】1．直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．（2）直线和平面平行的性质定理：资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2．直线与平面垂直（1）直线与平面垂直的定义：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．（2）直线与平面垂直的判定：定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．3．二面角的平面角求法：（1）定义法．（2）三垂线定理及其逆定理．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．（4）平移或延长（展）线（面）法．（5）射影公式．（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为𝑢→和𝑣→，若两个平面的夹角为θ，则①当0≤＜𝑢→，𝑣→＞≤𝜋2，θ=＜𝑢→，𝑣→＞，cosθ＝cos＜𝑢→，𝑣→＞=𝑢→⋅𝑣→|𝑢→||𝑣→|．②当𝜋2＜＜𝑢→，𝑣→＞＜π时，cosθ＝﹣cos＜𝑢→，𝑣→＞=−𝑢→⋅𝑣→|𝑢→||𝑣→|考向一求三棱锥体积3．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4考向二求二面角4．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】55．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3．（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题。高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共20小题）1．（2023•保定二模）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝，DH⊥平面ABCD，EH＝2，DH＝3，AD＝4．（1）求证：AE∥平面BDG；（2）求三棱锥F﹣BDG的体积．2．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点．（1）求证：CD⊥ME；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】73．（2023•松江区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝4，BC＝3，AB＝5．（1）求证：AC⊥BC1；（2）设AC1与底面ABC所成角的大小为60°，求三棱锥C﹣ABC1的体积．4．（2023•平罗县校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上，且PF＝2FC．（1）证明：DF∥平面PAB；（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】85．（2023•新城区校级一模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：PB∥平面EAC．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求cos∠PCD．6．（2023•开封三模）如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB＝4，BC＝6．（1）证明：BF⊥平面EPF；（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B﹣EPF的体积．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】97．（2023•咸阳模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为1的正方形，侧面BB1C1C⊥侧面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中点．（1）求证：平面GBC⊥平面BB1C1C；（2）若P为线段BC的中点，求三棱锥A﹣PBG的体积．8．（2023•河南三模）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，CD＝2，M是DD1的中点．（1）证明：BC⊥B1M；（2）若B1M⊥CM，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】109．（2023•南关区校级模拟）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，，且DE∥平面BCC1B1．（1）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积；（2）求直线CC1与平面A1B1C所成角的正弦值．10．（2023•琼山区校级三模）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，，且DE∥平面BCC1B1．（1）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积；（2）平面A1B1C与平面ABC所成角为α，CC1与平面A1B1C所成角为β，求证：．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1111．（2023•兴庆区校级四模）在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD＝60°．（1）证明：BD⊥平面ACDE；（2）过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积．12．（2023•遂宁模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，H为△ABC的内心，直线AH与BC交于M，∠PAB＝∠PAC，∠PCA＝∠PCB．（1）证明：平面PAM⊥平面ABC；（2）若AB⊥BC，PA＝AB＝3，BC＝4，求三棱锥M﹣PAC的体积．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1213．（2023•郑州三模）已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，其中AB＝2A1B1＝4．（1）求侧棱AA1与底面ABCD所成的角；（2）在线段CC1上是否存在一点P，使得BP⊥A1D？若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．14．（2023•广州三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，AB＝AP＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAC；（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E﹣ABG体积．15．（2023•江西模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝B1A＝B1C，D是AC的中点，AB1⊥BD．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】13（1）证明：B1D⊥平面ABC；（2）若，点B1到平面ACC1A1的距离为，求三棱锥C1﹣A1B1C的体积．16．（2023•成都模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△A1B1C1与△AB1C1均是边长为2的正三角形，且AA1＝．（Ⅰ）证明：平面AB1C1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求四棱锥A﹣BB1C1C的体积．17．（2023•宛城区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2a的正三角形，侧棱AA1资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】14的长为，D，D1分别是棱BC，B1C1的中点，平面ADD1A1⊥平面CBB1C1，且∠ADD1≠90°．（1）求证：BC⊥CC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为，求它的体积．18．（2023•长沙模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠PAB＝∠DAB＝，PA⊥PB，点E在线段PB上，CD⊥DE，平面PAB⊥平面ABCD．（1）求四面体E﹣PAD的体积；（2）求直线DE与平面CDP所成角的正弦值．19．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，AB＝AC＝1，将△PAB资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】15绕着PA逆时针旋转到△PAD的位置，得到如图所示的组合体，M为PD的中点．（1）当∠BAC为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；（2）当PC∥平面MAB时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．20．（2023•睢宁县校级模拟）在三棱台ABC﹣DEF中，G为AC中点，AC＝2DF，AB⊥BC，BC⊥CF．（1）求证：BC⊥平面DEG；（2）若AB＝BC＝2，CF⊥AB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为，求三棱锥E﹣DFG的体积．二．平面与平面垂直（共3小题）资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1621．（2023•江西模拟）如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得BC＝1，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．（1）证明：平面PDE⊥平面POD；（2）点E到平面PAD的距离为d1，求d1的值．22．（2023•开福区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A