数学期望与方差

第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望§4.2方差§4.3协方差及相关系数§4.4矩、协方差矩阵§4.1数学期望例1设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律X10987Y10987Pk0.60.10.20.1Pk0.40.30.10.2试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？)(2.91.072.081.096.010)1072081096010(1001环解由射手甲的分布律知，甲命中10环的概率为0.6，即若射击100次，约有60次命中10环，同理，约有10次命中9环，20次命中8环，10次命中7环．这样，甲平均每次命中环数约为由此可见，射手甲的射击水平略高于射手乙的射击水平。)(9.82.071.083.094.010)2071083094010(1001环同理，射手乙平均每次命中环数约为若级数绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)．即,,2,1,}P{Xkpxkk,1kkkpxkkkpxXE1)(定义1设离散型随机变量X的分布律为定义２设连续型随机变量Ｘ的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，记为E(X)即dxxfx)(dxxfxXE)()(2）数学期望完全由随机变量的概率分布所确定.若服从某一分布也称是这一分布的数学期望.)(XEXX)(XE例2设X~b(n,p),求E(X).[注]1）数学期望简称为期望，又称为均值．例3设X~(),求E(X).解X的分布律为!E(X)kekkk0.,,,,,!}P{X0210kkekk)!(111kekkee例4设X~U(a,b),求E(X).解dxxxf)(E(X)其它,0,1)(bxaabxf2badxabxbaX的概率密度为例5设X服从指数分布，其概率密度为)0(00,0,1)(xxexfx求)(XE例6设X~N(,2)，求)(XEdxexdxxfxXEx222)(21)()(dttedtedtetttt22222222)(21tx串联时系统寿命)X,min(XN21.0,0,0,2)(2minxxexfx22)()(20mindxexdxxfxNEx例7设有2个相互独立的电子元件，其寿命Xk(k=1,2)均服从同一指数分布，其概率密度为)0(00,0,1)(xxexfx求将这2个元件串联组成系统的平均寿命．00,0,1)(Fxxexx解Xk的分布函数为.0,0,0,1])F(1[1)(F22minxxexxx其分布函数为(1)X是离散型随机变量,分布律为：若级数绝对收敛，则,2,1},{kxXPpkk1)(kkkpxg,)()]([)(1kkkpxgXgEYE(2)X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()]([)(定理1设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)（g为连续函数）．,)()]([)(1kkkpxgXgEYE证（1）由离散型随机变量的函数的分布，有kppp21)()()(21kxgxgxgY=g(X)kpdyyhyhyfdyyfyYEY|)(|)]([)()(（2）设X是连续型随机变量且满足§2.5节的定理条件，))(()()()()]([)(xgydxxfxgdyyhyhyfYE令:0)(yhdxxfxgdxxfxgdyyhyhyfYE)()()()()()]([)(:0)(yh.,,0|,)(|)]([)(Y其它yyhyhfyfY=g(X)的概率密度为定理推广：设Z是随机变量X,Y的函数：Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）．(1)若(X,Y)是离散型随机变量，其分布律为,,2,1,,}Y,P{XjipyxijjiijijijpyxgYXgEZE11),()],([)(则dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(则(2)若(X,Y)是连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，例7设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力W=kV2,(k为常数),求W的数学期望．其它avavf0,0,1)(20222311)()()(kadvakvdvvfkvkVEWEa解风速V的概率密度为解设组织货源为t（吨）(atb),由题意国家收益Y是X的函数：bXX,,)X(X)X(Yttastltsg其它bxaabxf,0,1)(例8国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变量，它服从(a,b)上的均匀分布．设每售出该商品一吨可以为国家创汇s万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损万元，问应组织多少货源才使国家收益的数学期望最大？l0)]()([)(10E(Y)sblatslabdtdslsblat])()(2)([)(2111])([22asltsblatslabdxabstdxablxtxsbttadxxfxgXgEYEba)()()]([)(8.21.082.023.044.01)E(XY)E(Z217.21.042.033.034.02Y)E(X)E(Z2解(X,Y)的取值及对应的概率如下表:(X,Y)(1,1)(1,2)(2.1)(2,2)XY21428X+Y2334pk0.40.30.20.1XY1210.40.220.30.1YXZ,XYZ221例9设(X,Y)的联合分布律为求的数学期望．例10设(X,Y)服从G上的均匀分布（如图）求X、Y及XY的数学期望012xyG12yx解法一：由已知得其它，,0G)(1),(x,yyxf其它,010,)1(2),()(xxdyyxfxf31)1(2)()(10dxxxdxxxfXEX10)1(201031)1(2),()(dxxxxdydxdxdyyxxfXEx解法二：同理32),()()1(2010xydydxdxdyyxyfYE61),()()1(2010xxydydxdxdyyxxyfXYE假设以下随机变量的数学期望均存在．1.E(C)=C,（C是常数）2.E(CX)=CE(X),（C是常数）3.E(XY)=E(X)E(Y),4.设X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)数学期望的性质:[注]1）性质3、4可推广到有限个的情况.2）对于性质4来讲反之不成立.E(Y)E(X)),(),(),()(Y)E(Xdxdyyxfydxdyyxxfdxdyyxfyx证(仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4)设(X,Y)的概率密度为f（x,y），其边缘概率密度分别为fX（x），fY（y），则E(Y)E(X))()()()(),()(E(XY)dyyyfdxxfxdxdyyfxfxydxdyyxfyxYXYX又若X与Y相互独立，则)()(),(yfxfyxfYX例11一民航机场的送客车，载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车．假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下车相互独立．以X表示停车次数，求E(X)．由题意10,,2,1,0.9-1)E(X20ii784.8)9.01(10)()(20101XXEXE2020)109(1)1(,)109()0(iiXPXP[注]这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义.1021,1,0，，，站有人下车，第站无人下车，第iiiXi解引入随机变量1021XXXX则解由于X与Y相互独立，则与也相互独立，）（Yde)X(ce)1)(1(111))E(E(]E[00X)YX(dcdyeedxeeeeeydyxcxdYcdc例12设X、Y相互独立，分别服从参数为,的指数分布：试求.0,0,0,1)(.0,0,0,1)(yyeyfxxexfyYxX).0,0(],E[)YX(dcedc)(的数学期望2-X3Z），则随机变量2（服从、设随机变量8）X（D）X（E则的样本，是来自,...,,）n（服从X、设总体5）Y-X3（D则,5.0，9）Y（D，4）X（D、设3)分3小题，每题8共(一填空题)道大题10共(月考试题120161012xyZEXXXX-----------------------------------------其期望和方差的概率密度函数，并求eY求随机变量上服从均匀分布，]1,0[分）设随机变量在区间9六（月考试题12016x七（9分）已知随机变量X与Y的联合分布律为（X,Y）（0,0）（0,1）（1,0）（1，1）（2,0）（2,1）p0.10.150.250.20.150.15的数学期望2)YX(sinZ）3（的概率分布律YX）2（的概率分布律X）1求（§4.2方差定义1设X是一随机变量，若存在，则称为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X)．即并称为X随机变量的均方差或标准差，记(X)．}E(X)]E{[X2}E(X)]E{[XVar(X)D(X)2D(X)kkkpxXD21E(X)][)(1,2,k,}P{Xkkpx1。若X为离散型随机变量，dxxfxXD)(E(X)][)(22。若X为连续型随机变量,概率密度为f（x）,则22[E(X)])E(XD(X)3。计算公式：推导2222222[E(X)]-)E(X[E(X)]2E(X)E(X)-)E(X}[E(X)]2XE(X)-E{X}E(X)]-E{[XD(X)计算公式的推导：由方差的定义及数学期望的性质，有例1设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分别用X、Y表示，分布律分别为X10987Y10987p0.50.10.20.2p0.40.30.10.2试评定甲、乙的技术水平．即D(X),D(Y),由于E(X2)=80.7,E(Y2)=80.5于是D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1.49D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=1.29所以，从稳定性来看，射手乙的技术水平略高于射手甲．解甲乙平均命中环数为E(X)=8.9(环)，E(Y)=8.9(环)从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下，进一步考虑他们射击的稳定性，例2设随机变量X具有概率密度求D(X)其它,010,101,1)(xxxxxf解:0)1()1()(1001dxxxdxxxXE61)1()1()(1020122d