高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)

-1-向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1.有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为始点,B为终点的有向线段记作AB,注意:始点一定要写在前面,已知AB,线段AB的长度叫做有向线段AB的长(或模),AB的长度记作AB||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2.向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB表示向量时,我们就说向量AB.另外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、c、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a、b、c、…等.与向量有关的概念有:(1)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a和b同向且等长,即a和b相等,记作a=b.(2)零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3)位置向量:任给一定点O和向量a,过点O作有向线段OAa,则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定,这时向量a又常叫做点A相对于点O的位置向量.(4)相反向量:与向量a等长且方向相反的向量叫做向量a的相反向量,记作a.显然,()0aa.(5)单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e.与向量a同方向的单位向量通常记作0a,容易看出:0aaa││.(6)共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a平行于向量b,记作a∥b.零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD中,如果ABDC且ABBC││││,那么四边形ABCD是哪种四边形?四、归纳小结：1.用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2.共线向量(平行向量)可能有下列情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列命题中:(1)向量只含有大小和方向两个要素.(2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量.(3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.(4)点A相对于点B的位置向量是BA.正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个2.设O是正△ABC的中心,则向量,,AOOBOC是()A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3.ab的充要条件是()-2-A.ab││││B.ab││││且ab∥[]lC.ab∥D.ab││││且a与b同向4.AABB是四边形ABBA是平行四边形的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5.依据下列条件,能判断四边形ABCD是菱形的是()A.ADBCB.ADBC∥且ABCD∥C.ABDC且ABAD││││D.ABDC且ADBC6.下列关于零向量的说法中,错误的是()A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7.设与已知向量a等长且方向相反的向量为b,则它们的和向量ab等于()A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8.下列说法中:(1)AB与BA的长度相等(2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线(3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。错误的说法有.9.下列命题中:(1)单位向量都相等(2)单位向量都共线(3)共线的单位向量必相等(4)与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.中正确的命题的个数有个.10.下列命题中:(1)若a∣∣=0,则a=0.(2)若ab∣∣=∣∣,则ab或ab.(3)若a与b是平行向量,则ab∣∣=∣∣.(4)若0a,则0a.其中正确的命题是(只填序号).（三）解答题：11.如图,四边形ABCD于ABDE都是平行四边形.(1)若AEa,求DB;(2)若CEb,求AB;(3)写出和AB相等的所有向量;(4)写出和AB共线的所有向量.向量的加法与减法运算一、高考要求：掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律.二、知识要点：1.已知向量a、b,在平面上任取一点A,作ABa,BCb,作向量AC,则向量AC叫做向量a与b的和(或和向量),记作a+b,即abABBCAC.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.2.已知向量a、b,在平面上任取一点A,作ABa,ADb,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC=a+b=AB+AD.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.3.已知向量a、b,在平面上任取一点O,作OAa,OBb,则b+BA=a,向量BA叫做向量a与b的差,并记作a-b,即BA=abOAOB.由此推知:(1)如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量;-3-(2)一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量OB;(3)一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量.4.向量加法满足如下运算律:(1)abba;(2)()()abcabc.三、典型例题：例1:已知任意两个向量a、b,不等式ab││≤ab││││是否正确?为什么?例2:作图验证:()abab.四、归纳小结：1.向量的加法有三角形法则(ABBCAC)或平行四边形法则(AB+AD=AC),向量的减法法则(ABOBOA).2.向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.3.任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量(相对于一个基点).五、基础知识训练：（一）选择题：1.化简ABACBDDC的结果为()A.ACB.ADC.0D.02.在△ABC中,,BCaCAb,则AB等于()A.abB.()abC.abD.ba3.下列四式中不能化简为AD的是()A.()ABCDBCB.()()ADMBBCCMC.MBADBMD.OCOACD4.如图,平行四边形ABCD中,下列等式错误的是()A.ADABBDB.ADACCDC.ADABBCCDD.ADDCCA5.下列命题中，错误的是()A.对任意两个向量a、b,都有ab≤abB.在△ABC中,0ABBCCAC.已知向量AB,对平面上任意一点O,都有ABOBOAD.若三个非零向量a、b、c满足条件0abc,则表示它们的有向线段一定能构成三角形6．下列等式中，正确的个数是()①0aa;②baab;③()aa;④()0aa;⑤()abab.A.2B.3C.4D.5（二）填空题：6.在△ABC中,ABCA=,BCAC=.7.化简:ABACBDCD=,01122330AAAAAAAA=.（三）解答题：8.若某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北30方向位移50m到达点C,再从点C向北偏西60方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.数乘向量一、高考要求：-4-掌握数乘向量的运算及其运算律.二、知识要点：1.数乘向量的一般定义:实数和向量a的乘积是一个向量,记作a.当0时,a与a同方向,aa││=│∣││;当0时,a与a反方向,aa││=│∣││;当0或0a时,000a.2.数乘向量满足以下运算律:(1)1a=a,(-1)a=a;(2)()()aa;(3)()aaa;(4)()abab.三、典型例题：例1:化简:111(2)(52)463ababb例2:求向量x:112()(3)42xabxcc四、归纳小结：向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列关于数乘向量的运算律错误的一个是()A.()()aaB.()aaaC.()ababD.()abab2.D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且,BCaCAb,给出下列命题,其中正确命题的个数是()①12ADab;②12BEab;③1122CFab;④0ADBECF.A.1B.2C.3D.43.已知AM是△ABC的BC边上的中线,若,ABaACb,则AM等于()A.1()2abB.1()2baC.1()2abD.1()2ab4.设四边形ABCD中,有12DCAB,且ADBC∣∣∣∣,则这个四边形是()A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形（二）填空题：5.化简:2(34)3(23)abcabc=.6.若向量x满足等式:2()0xax,则x=.7.数乘向量a的几何意义是.（三）解答题：8.已知向量(也称矢量),ab,求作向量122xab.9.已知a、b不平行,求实数x、y使向量等式3(10)(47)2xaybyaxa恒成立.10.任意四边形ABCD中,E是AD的中点,F是BC的中点,求证:1()2EFABDC.平行向量和轴上向量的坐标运算ab-5-一、高考要求：掌握向量平行的条件,理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标及其运算.二、知识要点：1.平行向量基本定理:如果向量0b,则ab∥的充分必要条件是,存在唯一的实数,使ab.该定理是验证两向量是否平行的标准.2.已知轴,取单位向量e,使e与同方向,对轴上任意向量a,一定存在唯一实数x,使axe.这里的x叫做a在轴上的坐标(或数量),x的绝对值等于a的长,当a与e同方向时,x是正数,当a与e反方向时,x是负数.(1)设1axe,2bxe,则①ab=当且仅当12xx;②ab+=12()xxe.这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.(2)向量AB的坐标通常用AB表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙尔公式:AB+BC=AC.(3)轴上向量的坐标运算:起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.即在轴x上,若点A的坐标为1x,点B的坐标为2x,则AB=21xx.可得到数轴上两点的距离公式:21ABxx││=.三、典型例题：例1:已知:MN是△ABC的中位线,求证:1,2MNBCMNBC∥.例2:已知:13,3aebe,试问向量a与b是否平行?并求ab│││:│.例3:已知:A、B、C、D是轴上任意四点,求证:0ABBCCDDA四、归纳小结：1.平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式,可以通过向量的运算解决几何中的平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式.2.数轴上任一点P相对于原点O的位置向量OP的坐标,就是点P的坐标,它建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如果(,0)ambmRb,那么a与b的关系一定是()A.相等B.平行C.平行且同向D.平行且反向2.若3,5ABeCDe,且ADCB││=││,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.菱形3.“11220aeae”是“10a且20a”的()A.充