6指数与指数函数教案

1指数与指数函数一、教学目标1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2．掌握指数函数的概念,图象和性质.二、重点、难点讲解1.指数（1）根式若xn=a(n1,且Nn),则x叫做a的n次方根.当n为奇数时，a的n次方根是na.当n为偶数时，若a0，a的n次方根有2个，这两个方根互为相反数，即na，其中正的一个na叫做a的n次算术根；若a=0，0的n次方根只有一个，是0；若a0，a的n次方根不存在（在实数范围内）.当n为奇数时，aann.当n为偶数时，nnaaa(2)指数概念的推广①零指数.若运用指数运算法则，0aaaannnn，又有1nnaa，因此规定)0(10aa.②负整数指数.若运用指数运算法则，nnnnaaaaa001，又有nnaa11，因此规定),0(1Nnaaann.③正分数指数.若运用指数运算法则，mnnmnnmaaa)(，因此规定).1,,,0(nNnmaaanmnm且④负分数指数，若运用指数运算法则，nmnmnmnmaaaaa001，又有nmnmaa11，因此规定)1,,,0(11nNnmaaaanmnmnm且且.⑤无理数指数，若a0,p是无理数，则ap也表示一个实数（因知识的原因，教材中对具体的规定已省略）（3）指数运算法则若a0,b0,Qsr,,则有下列指数运算法则：①srsraaa；(a0),(a0).2xy图11-110y=2y=10y=xxx1②rssraa)(；③rrrbaab)(.实际上上述法则当r,s为无理数时也成立.2．指数函数（1）形如y=ax)1,0(aa的函数叫做指数函数，因此xxyy,)31(都是指数函数，而xxyy4,32均不能称为指数函数.（2）在y=ax中，当0a时ax可能无意义，当a0时x可以取任何实数，当a=1时，)(1Rxax，无研究价值，且这时11xy不存在反函数，因此规定y=ax中.1,0aa且（3）指数函数的图象和性质xay0a1a1图象性质定义域R值域(0,+∞)定点过定点（0，1），即x=0时，y=1（1）a1，当x0时，y1；当x0时，0y1。（2）0a1，当x0时，0y1；当x0时，y1。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性xya和xya关于y轴对称(4)指数函数y=ax的性质可以由xxxyyy)21(,2,10的图像这三条曲线来记忆.由图可见，当a1时，指数函数y=ax的底数越大，它的图象在第一象限部分越“靠近y轴”，在第二象限部分越“靠近x轴”.又因函数y=ax和xay)1(的图像关于y轴对称，实际上xxaay)1(,因此当0a1时，指数函数y=ax的底数越小，它的图像在第二象限部分越“靠近y轴”，在第一象限部分越“靠近x轴”.(5)函数值的变化特征：10a1a①100yx时，①10yx时，)21(3注意：a值的变化与图像的位置关系（详见图形）二．经典例题题型1：根式与分数指数幂的运算例1．（1）34383316154168515；（2）3232（3）32ab（4）42)(a题型2：指数式的化简求值例2（1）计算:;)13()32(10008.0)416(25.00132211（2）计算:21210112])21[()12()35(42nn（3）化简：3163)278(ba（4）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa②10yx时，③10yx时②10yx时，③100yx时，4例3．（1）已知31aa，求22aa与33aa的值（2）已知11223xx，求22332223xxxx的值题型3：指数比较大小问题例4（1）6351,9,2cba试比较cba,,的大小。（2）63,318,215653cba试比较cba,,的大小。题型4：恒等式的证明例5：已知函数2)(,2)(xxxxeexgeexf求证)()(2)2(xgxfxf5题型5：指数函数的图像和解析式例6：如图为指数函数（1）xay（2）xby（3）xcy（4）xdy的图像，则dcba,,,的大小关系题型6：指数函数的定义域与值域例7：函数1)21(1xyx的定义域例8：（1）函数)1,0(aaayx在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a是多少？（2）求函数12xy的值域？（3）函数124xxay在区间[0,1]上的最大值为3，求实数a的值？6题型7：过定点问题：例9：函数)1,0(12aaayx必过定点？题型8：指数函数单调性问题例10：函数23xaxy在区间（1，＋∞）上是单调递减，则实数a的取值范围？7例11：比较大小（1）8.04a，48.08b，5.1)21(c（2）313232)21(,)21(,)51(题型9：指数函数的综合应用例12：对于函数1762)21(xxy（1）求函数的定义域，值域（2）确定函数的单调区间8例13：已知对任意的Rx,不等式4222)21(21xmxxxx恒成立，求实数m的取值范围。例14：（1）方程08241xx的解（2）若方程0)21()41(1axx有正数解，则实数a的取值范围？例15：已知),1(1)(Rxaaaxfxx（1）判断并证明)(xf的奇偶性与单调性9（2）若0)()32(22xxmfxxf对任意的]1,0[x均成立，求实数m的取值范围？例16：设函数)(2112)(Raaxfxx，且对任意Rx,均满足)()(xfxf。（1）求a的值（2）求)(xf的值域（3）解不等式：1715)12(0xf课后练习：1、化简下列式子（1）;)13()32(10008.0)416(25.00132211（2）21210112])21[()12()35(42nn.102、.当10a时，aaaaaa,,的大小关系是（）A．aaaaaaB．aaaaaaC．aaaaaaD．aaaaaa3、若函数是奇函数，则a=4、（1）已知a0,且,32121aa求32222323aaaa的值；（2）已知a0，且,1433xxaa求xa的值.5、求函数y＝2342xx的定义域、值域和单调区间．6、画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程kx13无解？有一解？有两解？