A题-全国大学生数学建模竞赛2016A题讲评

悬链线在系泊系统设计中的应用——全国大学生数学建模竞赛2016A题的解答与点评主讲人：周义仓西安交通大学数学与统计学院[e-mail],029-82668741主要内容1.题目及其背景2.悬链线方程推导3.问题1和问题2的模型与解答4.问题3的模型与解答5.离散化的递推模型6.竞赛答卷情况综述7.对教学的建议1.题目及其背景2016A系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的囿柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端不锚的链接处的切线方向不海床的夹角丌超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封囿柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶不竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶不电焊锚链链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度丌超过5度，锚链在锚点不海床的夹角丌超过16度。问题3由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析丌同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。锚链型号和参数表型号长度（mm）质量（kg）I783.2II1057III12012.5IV15019.5V18028.12长度是指每节链环的长度;质量时指每米环链的质量说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N)计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。题目来源及要求•应征题目：近浅海海底观测网的组网优化问题，原题是针对某海域试验用海底观测网提出的，需要通过模型设计试验海域中系泊系统和水声通讯系统传输节点的布局；•关注的是第三问，问题1和问题2是我们中加的，帮助学生理解问题和形成建模不求解的思路；•考察学生理解和简化实际问题的能力，主要用力学知识建立模型，进行求解后给出需要的结果：确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。题目解答的主要思路通过受力分析建立模型，求解后给出需要的结果。•将锚链、钢桶、钢管都简化为柔软的绳索，利用悬挂重物的三段悬链线来解决；•将下部的锚链简化为悬链线，上面的钢桶和钢管分别作为刚体来处理，由力和力矩的平衡条件建立模型；•将每节环链、钢桶和钢管都看作刚体，得到力和力矩的平衡条件，给出离散的递推模型。2.悬链线方程的推导20222cossintantan1'()1,(0)0,'(0)0.cosh1xOPTHTWWdyWyxdxHdxdydyyydxHdxxHyaaa考虑段悬链线的受力情况力平衡方程：，，，，，悬链线方程推导（1）222200002,()cos()cos,()sin()sin,cos()sin()()1'(),'tan,''sec()1,(),'()tancoshxxdxTdTdTTdTdTdWddddWxyxdxyydxdyxdyyxyyxdxHdxxya考虑[]段悬链线的受力情况在两个方向上的力平衡方程分别为将，展开，000001sinln,coscosxaHyaa悬链线方程推导（2）2,1'()()cos()cossin,()sin()sin.cos()sin()xxdxdsyxdxxyTdTdTfdsTdTdTdsdd有水流力时的情况：考虑[]对应弧段悬链线的受力情况，记在、两个方向上的力平衡方程分别为将，展开，整理2cossinsin,(0),sincos,(0).dTfTHdsdfdsT该方程组没有解析解，可以进行数值求解102101010cossinsin,,sincos,,cos,0,sin,0.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkTTfsTHfsTxxsxyysy悬链线方程推导（3）3.问题1和问题2的模型与求解0123012=22.05m,=7kg/m,1200kg,=100kg,=10kg,18m,12m/s,7800kg/m,=59.59N/m=10214.62N=269.96N=85.12NwaterLmmmmHv设这些组件是钢材，比重为则它们在海水中的重量分别为：，，如果这些组件的材料不是钢材，其建模过程完全相同，只是计算结常数与浮力：，果有些差异。质量与计算浮力后的重量基本思路将锚链、钢桶和钢管分别看作是单位质量丌同的柔软绳索，按照三段挂有重物的悬链线进行建模不计算。问题的简化：三段悬链线00122011111010009.843200.139.80.62522OQ()cosh13.94()3.94cosh0.251ff若锚链被全部拉起，在锚点与海床恰好相切，则浮标所承载的重量：浮标的吃水深度为：浮标上的风力大小为：之间悬链线的方程为：其中：，第一段悬链线的方程00100122212210021101110110122QQ1sin()coshln,coscos0.87,()cosh1+tan88.831sinsinhlncommxxayyxayaxFayyxawaWFxxaa之间第二段悬链线的方程为锚链的重量重物球的重量风力的大小这一段悬链线的长度为1米12111sinsinhln1scosa第二段悬链线的方程01151312332322132221202512332QQ1sin()coshln,coscos2.760.87,()+tan88.861sinsinhlncosmmmaxxyyxayaFaayyxwWFxxaa之间第三段悬链线的方程为，锚链的重量球和钢管的重量风力的大小这一段悬链线的长度为4米2321sinsinhln4cosa第三段悬链线的方程35101122211512233322015()18,1sin1sinsinhlnsinhln1,coscos1sin1sinsinhlnsinhln4.coscos=8.288wyxHxxaaaxxaaaxxx求解这一个方程组得到8.26，，求解过程011.35sinh15.76m6.29xsasa，再由求出第一段的弧长还有米的锚链拖地风速12m/s时的初步计算115.76m6.29m15.80m6.25m()3.98cosh0.251,08.30,yyxxxy锚链被拉起，拖地重量不需要浮标最后结果：锚链被拉起，拖地，浮标吃水深度：0.68m，游动区域半径14.66，钢桶、管倾角：1.188,1.184,1.175,1重复这个过程，使两次计算锚链长度的误.1改变锚链的长度后重新计算，得到新的锚链长度，66,1.158三段悬链线的方程如下差很小。23()0.88cosh(1.144.92)29.02,8.308.33,()2.78cosh(0.361.58)120.95,8.338.46m1.25yxxxyyxxx系画图时横坐标分泊系统示加了（别意图。）风速12m/s时最后计算的结果临界风速的计算0200121023121210009.840.6253200.139.8arctanarcwmmL临界风速：22.05m锚链恰好计算步骤：从12m/s开始逐渐增加风速，对确定的风速，计算浮标的吃水深度，思路：利用前面计算时三段悬链线的，风力大小，悬链线参数方程，对不同的风全部被拉起，在锚点与海床相切，，，速行计算，进0100110011101tan()sinhcosh122.27m/smmmWFxxsxaLxyaaav，从第一段悬链线长度求解，计算，由第二、三段悬链线的长度确定它们末点的横坐标，得到第三段悬链线末端的纵坐标，临界令其等于浮标吃水后下端的纵坐标。循环计算后的结果是：风速为风速24m/s时的模型001020012012312012010009.840.6252(2)t24m/an3200.139.8arctanarctasnwwmmmmmL浮标的吃水深度与有关：组件的重量与锚链拉力的竖直分量超过临界风速，22.05m锚链全部吃水深度：参数：，被拉起，在锚点与海床夹角为，，，，方011110000012221221111312332321sin1()coshln,,coscos1sin()coshln,,coscos1sin()coshlncoscosxFyyxaaawxxaFyyxayaawaxxyyxaya程：322,.Faw风速24m/s时的计算结果00000000000000=0.70m17.78m=4.48=4.57=4.45=4.33=4.21=4.0915.74cosh0.0612m40.0781,/s24m/0swHRyvx计算思路：锚链的夹角由小到大循环计算对给定的，计算过程与风速浮标的吃水深度：，游动半径：锚链与海床的夹角：，钢桶的倾度：钢管的夹角：，，，三段悬链线的方程分的相同的计算结：果如下别为17.39,3.47cosh(0.2881.796)30.80,17.3917.47,11.02cosh(0.0911.6