500强企业设备培训八—特征量和常用的寿命分布

系统可靠性周剑峰可靠性特征量和常用的寿命分布第一节可靠性特征量第二节常用的寿命分布可靠性特征量对不可修系统：一.系统失效分布函数1.失效（概率）密度函数2.失效累积分布函数二、系统可靠性指标1．可靠度2．失效率3．平均寿命MTTF(meantimetofailure)tR()ttftFtdttftF0NtnNtFtR)()(1dttftTPtRttdttetR0)()()()()(tRtft10)(dtttf第一节可靠性特征量系统失效可分为两类：①永久性损坏，如机械损坏②功能故障。所谓功能故障指系统的各种功能出现不利的变化，或受环境条件的影响功能不能正常发挥，一旦外界条件变好，系统功能仍能恢复。系统失效:系统丧失规定的功能当系统是可修复系统时，称为系统故障据失效的性质，系统失效又可以分为两类:（1）突然失效。在大多数情况下，元器件的机械或电器的失效是突然发生的，称为突然失效。突然失效通常使系统完全丧失规定的功能。（2）退化失效。由于老化而使得元器件、材料的参数逐渐变化而引起的失效，称为退化失效。退化失效多半仅仅使系统的输出特性变坏，而系统可以继续保持工作能力。失效判据（或失效标准）:为了判断失效，必须制定判断失效的技术指标.为了研究系统失效的规律，以下面的实验为例进行分析。系统的工作部件失效并不能引起系统的不可靠例1测得某型号的N=110（个）集成电路块的失效时间（从开始工作到失效之间的时间）如表1所示。此表是对所测得的数据进行了初步整理，按从小到大的顺序排列后，再进行分组处理，比如分为8组，计算每组中的失效数据的个数（称为频率），记第组的频率为，再除以总数N即得该组的频率，列表如表2所示。ini*if表1110个集成块的失效时间数据16020026030035039045046048050051053054056058060060061063064065065067069070071073073075077077078079080081083084084085086087088090092092093094095097098099010001000101010301040105010701070108011001100113011401150118011801180119012001200121012201230124012401260126012701290129013001330138014001430145014901500150015301550157015901640170017301750179018001820187018902050207021802250238027503100表2失效数据的频数分布表itin*ifiF组中值频数频率累计频率组号范围15～40520560.050.052405～805605280.250.303805～12051005370.340.06441205～16051405230.210.8551605～2005180590.080.9362005～2405220550.050.9872405～2805260510.010.9982805～3205300510.011.00合计1101.00以失效时间为横坐标，以频率除以组距所得的商（1）为纵坐标，画出失效频率直方图如图1所示。t*ifttNntffiii*图1频率直方图此直方图的面积值正是失效的频率值，全部矩形面积的总和为1，由此可以看出为什么坐标不取频率，而取为频率除以组距的商。从失效频率直方图中，可以看到110个集成模块的失效时间分布情况：①分布范围是从5h到3205h：②分布集中在1005h左右为最多；③每个小的区间所占整个分布的比例不等。若将图1中的组距分得更小些、组数分得更多一些，比如将组距=400h缩小一倍，此时的频率直方图如图2所示。图2频率直方图2054020300526052205180514051005605ift其图形与图1是一致的，只是由于组距缩小了，分得更细了，因此更接近真实情况。可以设想，如果试验个数越来越多，分组越来越细，那么相邻矩形的高度差别就会越来越小，最后折线就趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示失效时间在理论上的分布曲线，称为失效密度曲线。它的数学表达式为：(2)式中——失效密度函数。Ndttdntftf对于失效密度曲线而言，失效密度曲线与横坐标轴之间的面积等于1。用积分表示为：(3)此式表明，失效时间随机变量在[0,∞]范围内取值的概率等于1。1)(0dttf若将上例中第1组到第组所有失效频率累加，称为第组的累积频率，记为。即（4）由此可得。以失效时间为横坐标，以累计频率为纵坐标画出的直方图如图3，称为失效累计频率图。kkkFkiikiikiikNnttNntfF111iFFF,,,21tiF当数据个数很多，分组又很细，则图形的顶部折线将趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示时间在理论上的累积分布曲线。其表达式为：(5)式中——失效累积分布函数或失效概率分布函数，简称失效分布函数。TNtntF)()(tF失效分布函数与失效密度函数之间有下述关系：(7)(8)tdttftF0)()(dttdFtf)()(图3累积失效分布函数曲线2051.00.5300526052205180514051005605ittF失效分布函数具有如下性质：1）为非降函数；2）；3）。1,00FF1)(0tF二、系统可靠性指标常将产品分为可修复与不可修复两类。对于不可修复的产品常用可靠度、失效率、平均寿命等可靠性指标进行描述；对于可修复产品常用维修度、可用度、平均修复时间等指标进行描述。1．可靠度可靠度是产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率，一般记为。它是时间的函数，故也记为,称为可靠度函数。由于系统失效与不失效是两个对立事件，因此可借助于系统的失效分布函数来表示系统的可靠度函数。即RtRNtnNtFtR)()(1)(可靠度函数具有下述性质：1）是非增函数；2），；3）。10R0R10tR如果用随机变量表示产品从开始工作到发生失效或故障的时间，其概率密度为图2所示，若用表示某一指定时刻，则该产品在该时刻的可靠度可靠性函数与失效分布函数及失效密度函数之间的关系，如图4及图5所示。T)(tfdttftTPtRt)()()()(tR)(tFtft图4与的关系tFtR10ttFtR图5关系tFtRtftft02．失效率（1）失效率的定义（与失效（概率）密度函数的区别）衡量系统可靠性的另一个重要的指标是失效率，其定义为：系统工作到时刻尚未失效的系统，在时刻后的单位时间内发生失效的概率，称为系统在时刻的失效率（或故障率），也称为失效函数，记为。即（9）tt()t0()1()()[()]()limtNntdnttNnttNntdtNdttdntft其含义为：系统失效率近似等于系统在时刻以后的单位时间[,]内的失效率与尚在工作的系统数（系统残存数）之比值。即（10）由失效率的定义可见，失效率愈大，则系统在时间区间[,]内失效的可能性就愈大，可靠性就愈小。因此，失效率是表示可靠性大小的局部指标。ttttttntnNttnNtnt)]([)()()(t)(tttt失效率常用的单位是：“”、“”。对于高可靠性产品常用“”作单位，称为一个“菲特”，简记为Fit(Failureunit)。即1菲特=，其意义是：100个产品工作一百万小时，只有1个可能发生失效。)(th/108h/105h/108h/108（2）失效率与可靠度及失效密度函数之间的关系由两边对t微分，得即代入式（9），得（11）)(ttRNtnNtR)()(NtdntdR)()()()(tNdRtdndttdRtRdttdRtnNNt)()(1)()()(将等式两端对t积分，得由于初始条件R(0)=1，即当t=0时N个产品全是好的，从而得（12）0lnln|)(ln)()()(000RtRtRtRtdRdtttttttRdtt0)(ln)(tdttetR0)()(此式表明了失效率与可靠度之间的关系。特别是当=时，即失效率为常数时，有即为常数时，可靠性按时间的指数分布。)(t)(ttRtetR)()(ttRt)(t又由：可得(13)此式表明了失效率、失效密度及可靠度函数之间的关系，即系统在时刻的失效率是到时刻尚未发生失效的可靠度R(t)的条件下，在下一个单位时间内可能发生失效的条件概率，从而失效率可用失效密度、可靠密度R(t)来表达。)()()()()]([)()(tRtfNtnNtNtnttnNtnt)()()(tRtft)(ttftRt)(tt)(ttf3．平均寿命在系统的寿命特征中，最常用的是“平均寿命”。平均寿命，顾名思义就是寿命的平均数，即随机变量寿命的期望值。对于不可修复系统，系统的寿命是指系统发生失效前的工作（或贮存）时间或工作次数。对于可修复系统，系统的寿命是指两次相邻失效（故障）之间的工作时间例2设测得18台某种电子设备从工作开始到初次失效的时间数据（单位：h）如下：16,29,50,68,100,130,140,190,210,270,280,340,410,450,520,620,800,1100则得这18台电子设备的平均寿命（平均初次失效间隔MTBF）为式中为单个值。)(318)1100...2916(18111htNtjjjt若子样本较大，即N较大，这时用分组处理，得平均寿命为：（14）式中——数据的个数；——分组数；——第组的组中值；——第组的频数；=/——第组的频率。*111ikiiikiiftntNtitNkin*ifinNiii如果数据愈多，分组愈多，即当时，平均寿命为(15)式中——系统失效密度函数。*10limikiiktftttfttttfikiiktikiikt101*0limlim0)(dtttf0,tktf由得故由于，所以(16)tFtR1)()()(tfdttdFdttdRdtdttdRtdtttft00)()(0)(0|)(dttRttRdttRttRt)()(lim00lim)(lim0)(tdttttetRttdtt0)(lim0)(dttRt特别是当失效率≡为常数时，=,平均寿命通常记为。则即(17)含义为，在失效率为常数的情况下，平均寿命等于失效率的倒数。tR)(tte10|10ttedtet1此时，产品按平均寿命工作的可靠性为=时，。即对于的情况，产品能工作到平均寿命的仅占37%。t368.0)1(1eR)(t除可靠度、失效率、寿命（不可修复系统）之外，还有维修度、有效度、平均修复时间（可修复系统）等，分别用来衡量不同系统的可靠性。例如，对于一旦失效就会引起灾难性后果的系统，这时，首次失效时间将是最重要的指标。而对于一个失效后可修复且失效不引起严重后果的系统，则失效度、失效间隔时间等，都可作为衡量其可靠性的指标。第三节常用的寿命分布一、指数分布在可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用的分布，适合于失效率为常数的情况。它不但在电子元器件偶然失