机械工程控制基础(2)

控制工程基础FundamentalsofControlEngineering第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统数学模型的方法有分析法和实验辨识法两种。前者主要用于对系统结构及参数的认识都比较清楚的简单系统，而后者通常用于对系统结构和参数有所了解，而需进一步精化系统模型的情况。对于复杂系统的建模往往是一个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辨证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。2.1系统的微分方程系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。如果系统的运动状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。2.1系统的微分方程系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。对于同一系统，数学模型可以有多种形式，如微分方程、传递函数、单位脉冲响应函数及频率特性等等。但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。2.1系统的微分方程线性系统的叠加原理线性系统在多个输入的作用下,其总输出等于各个输入单独作用而产生的输出之和.2.1系统的微分方程列写系统或元件微分方程的一般步骤为：(1).确定系统或元件的输入量和输出量；(2).按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关定律，列写出各个环节的动态微分方程；(3).消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程式；(4).将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。在列写微分方程的各步中，关键在于掌握组成系统的各个元件或环节所遵循的有关定律。对于机械类的学生，往往需要列写机械系统和电网络系统的微分方程，因此，有必要掌握常见元件的物理定律。2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程例题2.1系统的微分方程例题2.2系统的传递函数一、传递函数对于线性定常系统，传递函数G(s)是一种常用的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的Laplace变换与引起该输出的输入量的Laplace变换之比。系统的零初始条件有两方面的含义，一是指在t=0-时输入Xi(t)才开始作用于系统，因此，t=0-时，Xi(t)及其各阶导数均为零；二是指在t=0-时系统处于相对静止的状态，即系统在工作点上运行，因此t=0-时，输出X0(t)及其各阶导数也均为零。现实的工程控制系统多属此类情况。2.2系统的传递函数传递函数具有以下特点：(1)传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。(2)当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。(3)传递函数分子中s的阶次不会大于分母中s的阶次。2.2系统的传递函数(4)传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。(5)不同用途、不同物理组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。(6)传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描述系统的内部特性）。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。2.2系统的传递函数二、传递函数的零点、极点和放大系数传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点。根据复变函数知识，凡能使复变函数为0的点均称为零点；凡能使复变函数为趋于∞的点均称为极点。若将传递函数写成如下的形式：则，s=zj(j=1,2,…,m)为传递函数的零点，s=pj(j=1,2,…,n)为传递函数的极点，而将K称为系统的放大系数。传递函数的零点和极点的分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状。系统的放大系数决定了系统的稳态输出值。因此，对系统的研究可变成对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。2.2系统的传递函数三、典型环节的传递函数系统是由若干典型环节组成的。常见典型环节及其传递函数的一般表达式分别为：以上各式中：K为比例系数；T为时间常数；ξ为阻尼比；ωn为无阻尼固有频率；г为延迟时间。2.2系统的传递函数2.2系统的传递函数2.2系统的传递函数2.2系统的传递函数2.2系统的传递函数2.2系统的传递函数2.2系统的传递函数注意事项(1)传递函数框图中的环节是根据运动微分方程划分的，一个环节并不一定代表一个物理的元件(物理的环节或于系统)，一个物理的元件(物理的环节或子系统)也不一定就是一个传递函数环节;换言之,也许几个物理元件的特性才组成一个传递函数环节．也许一个物理元件的特性分散在几个传递函数环节之中。从根本上讲，这取决于组成系统的各物理的元件(物理的环节或子系统)之间有无负载效应。(2)不要把表示系统结构情况的物理框图与分析系统的传递函数的框图混淆起来.(3)同一个物理的元件(物理的环节或子系统)在不同系统中的作用不同时，其传递函数也可不同，因为传递函数同所选择的输入、输出物理量的种类有关，并不是不可变的。2.3系统的传递函数方框图及其简化一、传递函数方框图在系统建模中，对于各个环节，分别用传递函数代表环节，用环节输入、输出的Laplace变换代表其输入和输出，而形成的一种表示系统与外界之间以及系统内部各变量之间的关系的方框图就是传递函数方框图。与系统方框图相对应，它包含函数方框、相加点和分支点等三种基本要素。(1)函数方框函数方框是传递函数的图解表示，指向方框的箭头表示输入的Laplace变换；离开方框的箭头表示输出的Laplace变换；方框中表示的是该输入与输出之间的环节的传递函数.(2)相加点相加点是信号之间代数求和运算的图解表示，在相加点处，输出信号(离开相加点的箭头表示)等于各输入信号(指向相加点的箭头表示)的代数和，每一个指向相加点的箭头前方的”十”号或”一”号表示该输入信号在代数运算中的符号。在相加点处加减的信号必须是同种变量，运算时的量纲也要相同。相加点可以有多个输入，但输出是唯一的。2.3系统的传递函数方框图及其简化(3)分支点分支点表示同一信号向不同方向的传递，在分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相等。建立系统方框图的步骤如下：(1)建立系统（或元件）的原始微分方程；(2)对这些原始微分方程在初始状态为零的条件下进行Laplace变换，并根据各个变换式的因果关系分别绘出相应的方框图；(3)从系统的输入量与主反馈信号进行叠加的比较环节开始，沿信号流动的方向，通过传递函数方框将所有的中间变量之间的关系一一画出，直至画出系统的输出量与主反馈信号。2.3系统的传递函数方框图及其简化例题(P73习题2.2B图和2.12B图)求图所示系统的传递函数和传递函数框图。2.3系统的传递函数方框图及其简化二、传递函数方框图等效的基本规则2.3系统的传递函数方框图及其简化2.3系统的传递函数方框图及其简化闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数方框图如图所示。图中，前向通道的传递函数为反馈回路的传递函数为前向通道传递函数G(s)与反馈回路传递函数H(s)之乘积定义为系统的开环传递函数Gk(s)，它也是反馈信号B(s)与偏差E(s)之比，即开环传递函数可以理解为；封闭回路在相加点断开以后，以E(s)作为输入，经G(s)、H(s)而产生输出B(s)，此输出与输入的比值B(s)／E(s)，可以认为是一个无反馈的开环系统的传递函数。由于B(s)与E(s)在相加点的量纲相同，因此，开环传递函数无量纲，而且H(s)的量纲是G(s)的量纲的倒数。2.3系统的传递函数方框图及其简化若H(s)=1，则此闭环系统为单位反馈系统。其闭环传递函数为请注意，这里所说的开环传递函数、反馈通道的传递函数和前向通道的传递函数都只是一个闭环系统中一部分元件或环节的传递函数，而闭环传递函数才是这个闭环系统的传递函数。输出信号Xo(s)与输入信号Xi(s)之比，定义为系统的闭环传递函数GB(s)，即相加点的B(s)处的符号由物理现象及H(s)本身符号决定,即，若人为地将H(s)改变符号，则相加点的B(s)处也耍相应地改变符号，结果其传递函数不变。但闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。与反馈信号在相加点取正号还是取负号是两回事。2.3系统的传递函数方框图及其简化三、传递函数方框图简化的一般步骤(1)确定系统的输入量和输出量，如果作用在系统的输入量有多个，则必须分别对每一个输入量，逐个进行方框图的简化，求得各自的传递函数。对于具有多个输出量的情况，也要分别进行变换，求取各自的传递函数。(2)若方框图中仅有多个无交叉回路，则按照先里后外的原则，逐个简化，直至简化成一个方框的形式。若方框图中有交叉的连接，用如下的方法。方法一：若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件条件1，整个系统方框图中只有一条前向通道；条件2，各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。则可以直接用下列公式求解：括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，对反馈信号为相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号。2.3系统的传递函数方框图及其简化方法二：若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，则可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将系统传递函数方框图化为同时满足以上两个条件的形式，然后应用公式即可。方法三：若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将交叉消除，简化成无交叉的多回路形式。然后由里到外进行变换直至变换成一个单一回路或一个方框的形式，最后写出系统的传递函数。在进行相加点或分支点前后移动时，应避免将相加点跨越分支点或分支点跨越相加点，或将相加点和分支点的位置进行相互交换，否则，方框图将更加复杂。2.3系统的传递函数方框图及其简化补充练习通过方框图的等效变换求取如图所示系统的传递函数C(s)/R(S)。2.3系统的传递函数方框图及其简化用梅逊公式求系统的传递函数对于复杂的多回路系统，用梅逊公式可以不必要进行结构图变换即可求出闭环系统的传递函数。梅逊公式可表示为式中，P表示系统的传递函数；n表示系统的前向通路数；Pk表示第k条前向通路总增益.2.3系统的传递函数方框图及其简化2.3系统的传递函数方框图及其简化2.3系统的传递函数方框图及其简化2.3系统的传递函数方框图及其简化2.4考虑扰动的反馈控制系统的传递函数控制系统在工作过程中一般会受到两类输入作用。一类是有用输入，或称给定输入、参考输入以及理想描入等;另一类则是扰动，或称干扰。给定输人xi(t)通常加在控制装置的输入端,也就是系统的输入端；而干扰n(t)一般作用在被控对象上.2.4考虑扰动的反馈控制系统的传递函数设闭环系统在干扰作用下的方框图如图根据线性系统的叠加原理，系统输入与系统的干扰相互独立地对系统起作用。设输入Xi(s)引起的输出为X0x(s)，干扰N(s)引起的输出为X0N(s)。令干扰N(s)为零，则可得系统在输入作用下的传递函数为2.4考虑扰动的反馈控制系统的传递函数令输入Xi(s)为零，则可得系统在干扰作用下的传递函数为在上式中，若取|G1(s)H(s)|1，且|G1(s)G2(s)H(s)|1，则干扰所引起的输出趋于0。因此，尽管系统在运行的过程中，干扰是不可避免的，而对于反馈控制系统，只要系统参数选择适当，就可以使系统具有很强的抗干扰能力。从式(2.4.1)和式(2.4.2)可知，对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统传递函数也不同，但传递函数的分母不变。