机械振动L

第二篇机械振动与机械波广义振动：任一物理量(如电路中的电流、电压的变化、电磁波中场强的变化、一年四季气温的变化等)在某一数值附近反复变化。机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。(如树叶的摆动、鼓膜的振动、心脏的跳动、晶体中原子的振动等。）机械振动是最直观、最基本的振动形式4-1简谐振动的动力学特征简谐振动——最简单最基本的线性振动。简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。)tcos(Ax0kxOm一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧—物体系统平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律物体—可看作质点kxOmkxF22dtxdmkxmk2简谐振动微分方程0222xdtxd令:其通解为：)tcos(Ax0简谐振动的振动方程kxF力学方程1.简谐振动的特征：0222xdtxd动力学方程微分方程2.)tcos(Ax0运动学方程3.判断系统作简谐振动的依据：0222dtd结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。sinsinmglM二、微振动的简谐近似_单摆mgldtdml222摆球对C点的力矩mglMl/g2简谐振动微分方程简谐振动的振动方程)cos(0tm令:gmfTCOl单摆作小角度摆动时：复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222dtd结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。sin当时gmhCO22sindtdJmghJmgh2)cos(0tm22dtdJmgh令:其通解为：一、简谐振动的运动学方程)tcos(Ax00222xdtxd4-2简谐振动的运动学简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程kxOm)tsin(Av0根据运动方程可得任意时刻的速度和加速度：速度：加速度：)cos(ω0tAa2二、描述简谐振动的特征量)tcos(Ax01、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。)tsin(Av0000vv,xx,t初始条件00cosAx00sinAv2020)(vxA频率：单位时间内振动的次数。2、周期、频率、圆频率21T角频率:22T周期T：物体完成一次全振动所需时间。00)Tt(cosA)tcos(A2T物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad.s-1或s-1)。对弹簧振子kmT2mk21mk固有角频率固有周期固有频率单摆glT2lg21lg复摆mghIT2Imgh21Imgh)tsin(Av00是t=0时刻的位相—初位相000cosAxt时00sinAv000xvtan3、位相和初位相)cos(0tAx—位相，决定谐振动物体的运动状态0t或:)(tan0010xv位相差两振动位相之差。12当=2k,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相当=(2k+1),k=0,±1,±2...两振动步调相反,称反相02超前于1或1滞后于2位相差反映了两个振动不同程度的参差错落)cos(1011tAx)cos(2022tAx设有:12toTxx1x2例1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。因此,此振动为简谐振动。以平衡位置O为原点弹簧原长挂m后伸长某时刻m位置伸长受弹力平衡位置解：求平衡位置mgkx0kmgx0kxkxkxmgxxkmgF00)(m0l0xxxofk例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cmt=0时x0=-9.8cm,v0=0⑴取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。XOmx解：⑴设振动方程为)tcos(Ax0s/rad..lgmk10098089由初条件得,)xv(arctg0000mvxA09802020.)(由x0=Acos0=-0.0980cos00,取0=srad/10振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按题意t=0时x0=0，v00x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2v0=-Asin0,sin00,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变Hzlg6.1212固有频率XOmx三、简谐振动的旋转矢量表示法0t=0At+0t=tAx)tcos(Ax0oXAv)sin(0tAvnAa2)cos(02tAa用旋转矢量表示相位关系x1A2Ax1A2Ax1A2A同相反相4-5一个沿X轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t=0时质点的状态分别是：(1)；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过x=A/2处向负向运动；(4)过处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程．Ax02AxxAAAA解：设振动方程为：)cos(tAx(1))2cos(tTAx)232cos(23tTAx(2)(4))452cos(45tTAx)32cos(3tTAx(3)4-8图为两个谐振动的x-t曲线，试分别写出其谐振动方程．m)23cos(1.0txamtxb)3565cos(1.0AAx解：(1)2210A.(2)651例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置所需要的最短时间。解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限3（2）从x=-0.03m处且向x轴负方向运动到平衡位置，意味着旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满足653223tst83.06565T2依题意园频率:以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x)tsin(Av0)tcos(Ax0221mvEk)t(sinkA02221221kxEp)t(coskA02221谐振动的动能和势能是时间的周期性函数4-3简谐振动的能量机械能221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒mk2一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为)cos(AAAAA10202122212221122110cosAcosAsinAsinAtg)tcos(A)t(x1011)tcos(A)t(x2022)tcos(Axxxx021质点同时参与两个同方向同频率的谐振动:合振动:4-4简谐振动的合成2A1AA102001x2xx1M2MM如A1=A2,则A=0,,,kk21021020两分振动相互加强21AAA,,,k)k(210121020两分振动相互减弱21AAA分析若两分振动同相：若两分振动反相:)cos(AAAAA10202122212初相与振幅大振动相同.x1A2A1Ax2A2A1AA2A1AA2A振动合成的三角形法则N个同方向、同频率振动的合成：iA1A2AA*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122分振动)tcos(Ax101)tcos(Ay2020(1)10200221)AyAx(xAAy12合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线12AA斜率质点离开平衡位置的位移讨论)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122yx)tcos(AAyxS2221221020(2)0221)AyAx(xAAy12合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线12AA斜率质点离开平衡位置的位移)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122yx)tcos(AAyxS2221222(3)102012212AyAx合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆)tcos(Ax101质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122yx)tcos(Ay2101yx2(4)1020合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆)tcos(Ax101质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122)tcos(Ay2101=5/4=3/2=7/4=0==/2=3/4Q=/4P·.0时，逆时针方向转动。0时，顺时针方向转动。*五、垂直方向不同频率可看作两频率相等而2-1随t缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹称为李萨如图形yxA1A2o-A2-A1简谐振动的合成)()(xyxyt4023xyyx,::两分振动频率相差很小两振动的频率成整数比李萨如图形21:31:32:yxT:T