注册设备工程师10年培训课件1

电磁场与电磁波第1章矢量分析1.1标量场和矢量场1.2矢量与矢量场的不变特性1.3矢量的通量散度1.4矢量的环量旋度1.5标量场的梯度1.6亥姆霍兹定理第1章矢量分析本章学习基本要求•理解标量场与矢量场的概念，并了解标量场的等值面和矢量的矢量线的概念；•深刻理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的重要概念，并掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法；•熟练掌握和应用散度定理和斯托克斯定理；•理解亥姆霍兹定理的意义。本章重点和难点（1）矢量场散度和旋度描述了矢量场的不同性质，注意它们的区别。（2）亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质。（3）标量场的性质可由它的梯度来描述。本章习题：1.11.131.23矢量：既有大小，又有方向的量称为矢量。选用适当的坐标系，一个矢量可以由它在各坐标轴上的投影来表示，如图所示：是各坐标方向的单位矢量；∣A∣是矢量的模。如果矢量中的各分量是坐标的函数，则这个函数就是一个矢量函数。,,xxyyzzeaeaea其中补充：矢量的表示及运算矢量的加法和减法矢量相加和相减就是分别将矢量的各分量相加和相减，如图所示。如()()+()xxxyyyzzzABeABeABeAB矢量的点积（标积）两个矢量A和B的点积定义为：CAB点积的结果C是一个数量（标量），而不是一个矢量，其结果为：cosCABAB如右图所示。在直角坐标系中，假设：xxyyzzxxyyzzAeAeAeABeBeBeB则xxyyzzABABABAB矢量的叉积（矢积）两个矢量的叉积定义为：矢量的叉积还是一个矢量，叉积得到的新的矢量方向垂直于由叉积矢量构成的平面，方向满足右手螺旋法则，其模值为：在直角坐标系下，叉积可以表示为：CABsinCABxyzxyzxyzeeeABAAABBB补充：坐标系及单位矢量矢量的单位矢定义为：222AxyzAAeAAAA1.直角坐标直角坐标系由三互相垂直的直线形成。此三直线称x、y和z轴。三轴线的交点是原点。用单位矢量：,,xyzeee表征矢量分别沿x、y和z分量的方向。空间一点P(x,y,z)能够用它在三轴线上的投影唯一的确定。zyxP(X,Y,Z)rZXYOezexey位置矢量(positionvector简称位矢)是一个从原点指向点P的矢量（如图示），能够用它的分量表示为：xyzreXeYeZ其中X、Y和Z是r在x、y和z轴上的投影。如果Ax、Ay和Az是A的坐标投影，则A可写成：xxyyzzAeAeAeA在直角坐标系中体微分元为：ddddxyz在直角坐标系中面微分元为：dddddddddxxyyzzseyzsexzsexy在直角坐标系中线微分元为：ddddxyzlexeyez距离矢量(distancevector):从一点到另一点的矢量称为距离矢量。例：求从点P(x1,y1,z1)到Q(x2,y2,z2)的矢量R。解：令r1和r2分别为点和点的位置矢量，如图。则11112222xyzxyzrexeyezrexeyezr1r2RQPO从点P到点Q的距离矢量（又称为点Q相对于点P的相对位矢）R为：21212121()()()xyzRrrexxeyyezz2.圆柱坐标22cossintanxryrzzrxyyx圆柱坐标与直角坐标的关系：由三个相互垂直的面组成：r=常数（圆柱面）φ=常数（半平面）z=常数（平面）22cossintanxryrzzrxyyx圆柱坐标的微分元：ddrzlRedrerdedz线元d=ddd=ddd=ddrrzzserzserzserr面元ddddzrr体积元圆柱坐标单位矢量之间的关系：,,rzzrzreeeeeeeee圆柱坐标中矢量表示：()()()rrzzrzAeAreAreArrerez其中是位置矢量圆柱坐标中其它关系见附录1（P240）圆柱体积分02.swf3.球坐标由三个相互垂直的面组成：r=常数（球面）θ=常数（正圆锥面，即极角）φ=常数（半平面，即方位角）2dsindddrr体积元2d=sinddd=sinddd=dddd+d+drrrserserrserrssss面元其余见附录（教材P242）球坐标分解.swf场的概念若某一个物理量在全部空间或一部分空间的每一点有确定的值,这样就确定了这个量的一个场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理状态作为空间和时间的函数来描述。标量场(scalarfield)：按上述场的定义,若给定的量是数量,则这个场叫做标量场,又称为数量场。温度场、密度场、电位场、高度场等是标量场。矢量场(vectorfield)：若给定的量是矢量,则它确定的场叫做矢量场。流速场、涡流场、电场、磁场等是矢量场。静态场(staticfield)：如果场的变化与时间无关，这样的场我们就称为静态场，简称静场。时变场(time-varyingfield)：场的物理状态随时间变化的场称为时变场。一个矢量场可以用它沿坐标轴的三个分量来表示。例如在直角坐标系中有：(,,)(,,)(,,)(,,)xxyyzzFxyzeFxyzeFxyzeFxyz显然上面的函数表示的是一个静态的矢量场。(1.1.1)§1.1标量场和矢量场场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量.例如,在直角坐标下,为标量场为矢量场矢量函数及微积分常矢量-----模和方向都保持不变的矢量；变矢量------模和方向或其中之一会改变的矢量；矢量函数-------由一个或几个（标量）变量的函数表示的矢量。例如静电场的电场强度一般是空间坐标（位置）的函数E(x,y,z)或E(r),其三个坐标分量一般也是x，y，z（或r）的函数，即(,,)(,,)(,,)(,,)()()()()xxyyzzxxyyzzExyzeExyzeExyzeExyzEreEreEreEr或设单变量的矢量函数为()Fu，则导数的定义为：00()()limlimuudFFFuuFuduuuPF(u+?u)?FF(u)一般（1）矢量的增量不一定与原矢量方向相同；（2）对常量0dFdu（3）若f为标量函数，F为矢量函数，则()dfFdFdffFdududu一般函数的积分基本法则对矢量函数积分也都适用。但在柱、球坐标中求矢量函数的积分时，要注意坐标单位矢量的关系，不能在任何情况下都将坐标单位矢量提到积分号之外。例如在柱坐标中：22002rrredede（4）在求单位矢量的导数时，要注意在不同坐标系中其是常矢还是变矢。场线(图)--形象描绘场分布的工具标量场--等值线(面)，其方程为：()(,,)rxyzconst图1.1.3等值线等值面在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,rxyeee是变矢，而是常矢。这是因为单位矢量22220000(cossin)cossin0rxyxyedeededed而应将柱坐标的单位矢量变换成直角坐标的单位矢量后来求：矢量场F（r）--矢量线（或力线、流线）图矢量线如图1.1.4所示。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即d()0drFrl()()()()xxyyzzFreFreFreFr（以直角坐标表示）其中：ddddddddxyzxyzlexeyezrexeyez力线上的微分段弧长为力线切向上的一段微分矢量为在直角坐标下力线方程为：二维场;()()xydxdyFrFr三维场()()()xyzdxdydzFrFrFr则可得d()0rFr§1.2矢量与矢量场的不变特性不变---------即与坐标系无关，而只与两矢量的数值及它们之间的夹角有关。描绘物理状态空间分布的标量函数Φ（r）和矢量函数F（r），在时间为一定值的情况下，它们是唯一的，其大小或方向与所选择的坐标系无关。即对于坐标系的变换，Φ（r）和F（r）的大小与方向保持不变。常用的正交坐标系有三种：(,,;,,);xyzxyzeee直角坐标系(,,;,,);rzrzeee圆柱坐标系(,,;,,)rreee球坐标系这三种坐标系的坐标及单位矢量之间的转换关系见附录1例1.2.1、例1.2.1见教材P3~P42222222222xyzrzrFFFFFFFFFF由矢量不变特性，可得下列恒等式：()(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)xxyyzzrrzzrrFrFxyzeFxyzeFxyzeFxyzFrzeFrzeFrzeFrzFreFreFreFr矢量函数在上述三种坐标系内应有的关系为：一、通量0(有正源)0(有负源)=0(无源)图0.3.1矢量场的通量图0矢量场的通量§1.3矢量场的通量与散度矢量E沿有向曲面S的面积分sEdS若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:SEdS二、散度如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即10divlimSdAAS散度(divergence)计算公式zAyAxAzyxAAdiv（1.3.6）zeyexezyx其中为哈密顿算符式（1.3.6）的证明：在右图所示的直角坐标系中，我们以所研究的点(x,y,z)为顶点作一个平行六面体，其三个边分别为，和，分别计算三对表面穿出的的通量。从左，右一对表面穿出的净通量等于从上，下一对表面穿出的净通量等于从前，后一对表面穿出的净通量等于故从六面体穿出的净通量等于令，则引入哈密顿算符所以在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。•A=0(无源）•A=0(正源)•A=0(负源)三、散度的物理意义•矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；•散度代表矢量场的通量源的分布特性高斯定理的证明：将闭合面所围的体积分成许多体积元，计算包围每个体积元的小闭合面上穿出的的通量，然后叠加。图0散度定理该公式表明了区域τ中场A与边界S上的场A之间的关系。高斯公式SddASA既矢量函数的面积分与体积分的互换。对体积积分等于该矢量A穿过包围该体积的闭合面S的总通量A四、高斯公式(散度定理)（1.3.9）故得证。由于相邻两体积元有一个公共表面，这个公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好等值异号，求和时就相互抵消了（ds的方向总是取外法线方向）。除了邻近S面的那些体积元外，所有体积元都是由几个与相邻体积元的公共表面包围而成的，这些体积元的通量总和为零。而邻近S面的那些体积元，它们有部分表面是S面上的面元，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从闭合面S穿出的通量。故得到：得：由散度的定义式：该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源例：流速场图0流速场图环量的计算1.4矢量场的环流与旋度矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分一、环量LAdl环流量二、旋度1.环流(量)密度过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限LdS1dSdPSlΑlim环流密度取不同的路径，其环量密度不同。2.旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。AArot旋度(curl)它与环量密度的关系为rotndAedS在直角坐标系下zyxzyxzyxAAAeeeA证明如下：以M为顶点，取一个平行于yz面的矩形面