新北师大九年级数学下册知识点总结

第1页图1新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数1.正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．．，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan;①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。2.正弦．．：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin;3.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos;锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．．(或坡比．．)。用字母i表示，即Alhitan5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。30º45º60ºsinα212223cosα232221tanα3313图2hi=h:llABC第2页图3图47.同角的三角函数间的关系：①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A)②平方关系：③商数关系：8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。9.直角三角形变焦关系：在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；(3)边与角之间的关系：;cot,tan,cos,sinabAbaAcbAcaA;cot,tan,cos,sinbaBabBcaBcbB(4)面积公式:cchab2121S(hc为C边上的高);(5)直角三角形的内切圆半径2cbar(6)直角三角形的外接圆半径cR2110.三角函数的应用教材第18页11.利用三角函数测高教材第22页第二章二次函数1.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成cbxaxy2(a、b、c是常数,a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．．．．。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围．．．．．．．．。2.图像性质：(1)二次函数y＝ax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线．．．。)0(2aaxy是二次函数cbxaxy2的特例，此时常数b=c=0.（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。①函数的取值范围是全体实数；②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。④函数的增减性：第3页A、当a＞0时.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时xyxxyxB、当a＜0时.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时xyxxyx⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0。（3）二次函数caxy2的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数caxy2的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。（4）二次函数cbxaxy2的图象：是以直线abx2为对称轴，顶点坐标为（ab2，abac442）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。（5）二次函数cbxaxy2的图象与y＝ax2的图象的关系：cbxaxy2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）（6）二次函数khxay2)(的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）（7）二次函数cbxaxy2的性质：二次函数cbxaxy2配方成abacabxay44)2(22则抛物线的①对称轴：x=ab2②顶点坐标：（ab2，abac442）③增减性：若a0，当xab2时，y随x的增大而减小．．．．．；当xab2时，y随x的增大而增大。．．．．．．若a0，则当xab2时，y随x的增大而增大．．．．．；当xab2时，y随x的增大而减小。．．．．．．④最值：若a0，则当x=ab2时，abacy442最小；若a0，则当x=ab2时，abacy442最大3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）（1）一般式：cbxaxy2第4页（2）顶点式：khxay2)(（2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函数的应用：教材第46页几何方面教材第48页应用题5.二次函数与一元二次方程（1）二次函数cbxaxy2的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一二次方程02cbxax的两个实数根（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：acb420===抛物线与x轴有2个交点；acb42=0===抛物线与x轴有1个交点；acb420===抛物线与x轴有0个交点（无交点）；（3）当acb420时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：化简后即为：)04(||4||22acbaacbAB这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。第三章圆1.圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；线段OA叫做半径．．；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心．．，定长叫做圆的半径．．．．，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上===d=r;②点在圆内===dr;③点在圆外===dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。3.圆的对称性:（1)与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。直径：经过圆心的弦叫做直径．．。②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每第5页一条弧叫做半圆．．。优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.（2）.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。5.圆周角和圆心角的关系:（1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.（2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；（3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;6确定圆的条件:（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.（2）经过三点作圆要分两种情况:经过同一直线上的三点不能作圆.经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.(尺规作图教材第85页)7.三角形的外接圆、三角形的外心。(1)三角形的外接圆:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.8.直线与圆的位置关系(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.(4)直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①dr===直线L和⊙O相交.第6页②d=r===直线L和⊙O相切.③dr===直线L和⊙O相离.(5）切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线;②过切点;③过圆心.(6）三角形的内切圆、内心.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等.(三角形的内切圆作法尺规作图教材第92页)9切线长定理：过圆外一点所画