2019学年高二上学期期末考试数学试卷-(2)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线22x﹣y2＝1的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣3，0），（3，0）D．（0，﹣3），（0，3）2．命题“∃x0∈（0，+∞），使得e＜x0”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），使得e＞x0B．∃x0∈（0，+∞），使得e≥x0C．∀x∈（0，+∞），均有ex＞xD．∀x∈（0，+∞），均有ex≥x3．若复数1izi（i为虚数单位），则z的共轭复数＝（）A．1+iB．﹣1+iC．l﹣iD．﹣1一i4．已知x∈R，则“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设公比为﹣2的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝112，则a4等于（）A．8B．4C．﹣4D．﹣86．已知函数f（x）＝lnx﹣212x，则f（x）（）A．有极小值，无极大值B．无极小值有极大值C．既有极小值，又有极大值D．既无极小值，又无极大值7．在数列{an}中，a1＝3，an+1＝2an﹣1（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（）A．an＝2n+1B．an＝4n﹣1C．an＝2n+1D．an＝2n﹣1+28．在空间四边形ABCD中，向量AB＝（0，2，﹣1），AC＝（﹣1，2，0），AD＝（0﹣2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（）A．13B．223C．－13D．－2239．已知双曲线2222xyab＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为（）A．B．C．＝1D．＝110．已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，且满足f′（x）+f（x）＜0，设g（x）＝ex•f（x），若不等式g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．曲线f（x）＝2x+在点（1，3）处的切线方程为．12．已知向量＝（2，﹣1，3）与＝（3，λ，）平行，则实数λ的值为．13．已知a，b均为正数，4是2a和b的等比中项，则a+b的最小值为．14．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a1＝2，S9＝6a8，则数列{}的前10项的和为．15．已知离心率为的椭圆＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若＝0，且△PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤．16．（12分）已知复数z＝（m2+2m）+（m2﹣2m﹣3）i，m∈R（i为虚数单位）．（Ⅰ）当m＝1时，求复数的值；（Ⅱ）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝（n∈N*），正项等比数列{bn}满足b1＝a1，b5＝a6．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设∁n＝an•bn，求数列{∁n}的前n项和Tn．18．（12分）如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l：y＝x+m（m为常数）与C交于不同的两点A和B，且＝，其中O为坐标原点，求线段AB的长．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[，2]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）当m＜0时，试判断函数g（x）＝其中f′（x）是f（x）的导函数）是否存在零点，并说明理由．高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案CDBACBCABD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20xy12．3213．4214．51215．221124xy三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）解：（Ⅰ）当1m时，34zi,∴34171122ziiii.………….……………6分（Ⅱ）∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限,∴2220230mmmm…………………………………………9分解得21m，所以m的取值范围是(2,1).…………………………………12分17．（12分）解：（Ⅰ）当2n时1nnnaSS，2233(1)(1)22nnnn32n，…….…………………………3分当1n时，111aS也适合上式,∴32nan.…….…………………………4分∴11b，516b.设数列nb的公比为q，则416q.∵0q，∴2q，∴12nnb…………………………………………7分（Ⅱ）由（1）可知，1(32)2nncn，∴12nnTcccL22114272(35)2(32)2nnnnL①，21212422(35)2(32)2nnnTnnL②，……9分由①－②得，2113(222)(32)2nnnTnL122213(32)212nnn………………………11分∴5(35)2nnTn.………………………………12分18．（12分）解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，0,2,0C，10,0,4A，12,0,2B，10,2,1C.………………1分（Ⅰ）证明：1(2,2,1)BC，1(0,2,4)ACuuur，(2,0,0)ABuuur∵110440BCACuuuruuur，10000ABACuuuruuur，所以11BCAC,1ABAC.∵1ABBCBI,∴1AC平面1ABC..…………………5分（Ⅱ）由题意可知，1AA平面ABC，AC平面ABC，∴1AAAC又∵ABAC，1ABAAAI,∴AC平面ABC.∴平面1ABB的一个法向量为(0,2,0)ACuuur..……………………7分∵11(2,0,2)ABuuuur，11(0,2,3)ACuuuur,xyz1BB1A1CCA设平面111ABC的一个法向量为nr(,,)xyz，则1111220230ABnxzACnyzuuuurruuuurr，取2x,所以平面111ABC的一个法向量为nr(2,3,2)，.……………………9分∴317cos,17ACnACnACnuuurruuurruuurr..……………………11分显然二面角111BABC为锐二面角,∴二面角111BABC的余弦值为31717.…………………………12分19．解：（12分）（Ⅰ）由题意可知：22a，21b,∴2221cab,∴22cea.………………………………………3分（Ⅱ）设11(,)Axy22(,)Bxy，由2212yxmxy,消去y得2234220xmxm，2221612222480mmmV.∴33m.①.……………………5分则1243mxx，212223mxx,212121212yyxmxmxxmxxm223m..…………………………7分又∵23OAOBuuruuur.∴2121243yyxxm,即：24233m.……………………9分∴2m满足①式,∴212122()4ABxxxx22168893mm43.∴线段AB的长为43.…………………………………12分20．（12分）解：（Ⅰ）当1a时，3223()32fxxxx,2()231fxxx,令()0fx得12x或1x.……………………1分当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表:x11(1,)2121(,1)21)(xf+0)(xf196单调递增↗极大值524单调递减↘16∴min19()(1)6fxf,max15()()224fxf.……………………4分（Ⅱ）2()2(2)1fxxax∵()fx在1,22上是单调递增函数,∴2()2(2)10fxxax在1,22x上恒成立.………5分即：min12(2)axx.∵1,22x，∴当且仅当22x时，1222xx成立.∴222a.……………………7分（Ⅲ）由题意可知，22()ln1xmxgxxx(0,1)(1,)xU2()ln1mxxxx.……………………8分要判断()gx是否存在零点，只需判断方程20ln1mxxx在(0,1)(1,)U内是否有解，即要判断方程2(1)ln0xmxx在(0,1)(1,)U内是否有解.设2(1)()lnxhxmxx,………………10分2222()mmxhxxxx(0,1)(1,)xU,可见，当0m时，()0hx在(0,1)(1,)U上恒成立.∴()hx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递减.∵(1)0h,∴()hx在(0,1)和(1,)内均无零点.…………………12分