导数练习题(含答案)

导数练习题1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，在x＝0处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)已知点A(2，m)，求过点A的曲线y＝f(x)的切线条数．解(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意可得f′1＝3a＋2b＋c＝0，f′－1＝3a－2b＋c＝0，f′0＝c＝－3，解得a＝1，b＝0，c＝－3.所以f(x)＝x3－3x.(2)设切点为(t，t3－3t)，由(1)知f′(x)＝3x2－3，所以切线斜率k＝3t2－3，切线方程为y－(t3－3t)＝(3t2－3)(x－t)．又切线过点A(2，m)，代入得m－(t3－3t)＝(3t2－3)(2－t)，解得m＝－2t3＋6t2－6.设g(t)＝－2t3＋6t2－6，令g′(t)＝0，即－6t2＋12t＝0，解得t＝0或t＝2.当t变化时，g′(t)与g(t)的变化情况如下表：t(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)g′(t)－0＋0－g(t)极小值极大值所以g(t)的极小值为g(0)＝－6，极大值为g(2)＝2.作出函数草图(图略)，由图可知：①当m2或m－6时，方程m＝－2t3＋6t2－6只有一解，即过点A只有一条切线；②当m＝2或m＝－6时，方程m＝－2t3＋6t2－6恰有两解，即过点A有两条切线；③当－6m2时，方程m＝－2t3＋6t2－6有三解，即过点A有三条切线．2．已知函数f(x)＝alnx－bx2.(1)当a＝2，b＝12时，求函数f(x)在[1e，e]上的最大值；(2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，32]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．解(1)由题意知，f(x)＝2lnx－12x2，f′(x)＝2x－x＝2－x2x，当1e≤x≤e时，令f′(x)0得1e≤x2；令f′(x)0，得2x≤e，∴f(x)在[1e，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝ln2－1.(2)当b＝0时，f(x)＝alnx，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，32]，x∈(1，e2]都成立，则alnx≥m＋x对所有的a∈[0，32]，x∈(1，e2]都成立，即m≤alnx－x，对所有的a∈[0，32]，x∈(1，e2]都成立，令h(a)＝alnx－x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.∵x∈(1，e2]，∴lnx0，∴h(a)在[0，32]上单调递增，∴h(a)min＝h(0)＝－x，∴m≤－x对所有的x∈(1，e2]都成立．∵1x≤e2，∴－e2≤－x－1，∴m≤(－x)min＝－e2.即实数m的取值范围为(－∞，－e2]．3．设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．解由题设得，g(x)＝x1＋x(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，g3(x)＝x1＋3x，…，可得gn(x)＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝x1＋x，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝x1＋kx.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gkx1＋gkx＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋k＋1x，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N*成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥0)，则φ′(x)＝11＋x－a1＋x2＝x＋1－a1＋x2，当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)．当a1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0，∴φ(x)在(0，a－1)上单调递减∴φ(a－1)φ(0)＝0.即a1时，存在x0，使φ(x)0，故知ln(1＋x)≥ax1＋x不恒成立，综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝12＋23＋…＋nn＋1，n－f(n)＝n－ln(n＋1)，比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)n－ln(n＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n＋1ln(n＋1)，在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)x1＋x，x0.令x＝1n，n∈N*，则1n＋1lnn＋1n.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，12ln2，结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即12＋13＋…＋1k＋1ln(k＋1)．那么，当n＝k＋1时，12＋13＋…＋1k＋1＋1k＋2ln(k＋1)＋1k＋2ln(k＋1)＋lnk＋2k＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N*成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n＋1ln(n＋1)，在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)x1＋x，x0.令x＝1n，n∈N*，则lnn＋1n1n＋1.故有ln2－ln112，ln3－ln213，…，ln(n＋1)－lnn1n＋1，上述各式相加可得ln(n＋1)12＋13＋…＋1n＋1，结论得证．D1、已知函数2fxmx与函数11ln3,22gxxxx的图像上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）。A、5ln2,24B、52ln2,ln24C、5ln2,2ln24D、2ln2,2B2、已知函数3231fxaxx，若fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围，为（）。A、（2,）B、（,2）C、（,1）D、（1,）A3、定义在R上的函数()fx满足：1,00,fxfxffx是fx的导函数，则不等式1xxefxe（其中e为自然对数的底数）的解集为（）。A、0,B、,10,C、,01,D、1,4、已知函数2143ln2fxxxx在,1tt上不单调，那么实数t的取值范围是。(0,1)(2,3)C5、若函数32()132xafxxx在区间1,32内有极值点，则实数a的取值范围是（）。A、52,2B、52,2C、102,3D、102,3B6、已知函数3214()33fxxxx，若函数()yfxab为奇函数，则ab的值为（）。A、-5B、-2C、0D、2D7、已知函数2()(32),xfxexax在区间(1,0)有最小值，则实数a的取值范围是（）。A、11,eB、1,3eC、3,1eD11,3eA8、设函数()fx在R上的导函数为2(),2()()fxfxxfxx且，下面的不等式在R上恒成立的是（）。A、()0fxB、()0fxC、()fxxD、()fxxA9、已知函数()(2)xfxxeaxa，若不等式()0fx恰有两个正整数解，则a的取值范围是（）。A、31,04eB、,02eC、31,42eeD、31,24eD10、若函数2()ln()(0)fxxgxaxa与函数有两条公切线，则实数a的取值范围是（）。A、1(0,)eB、1(0,)2eC、1(,)eD、1(,)2e11、已知函数()gx满足121()(1)(0)2xgxgegxx，且存在实数0x使得不等式021()mgx成立，则m的取值范围是。【1，+无穷】12、已知1,3xx是函数()sin()(0,)fxx相邻的两个极值点，且()fx在32x处的导数302f，则13f。（二分之一）13、已知函数21(),()241fxxgxxaxx，若任意120,1,1,2xx存在，使12()()fxgx，则实数a的取值范围是。【四分之九到正无穷】B14、已知M为曲线xye上一动点，N为曲线lnyx上一动点，则MN的最小值为（）。A、22B、2C、22D、42A15、723456701234567(12)xaaxaxaxaxaxaxax，则代数式1234567234567aaaaaaa的值为（）。A、14B、7C、7D、14