解密18-圆与方程-高考数学(理)之高频考点

高考考点命题分析三年高考探源考查频率圆的方程从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力.2017新课标全国II92017新课标全国Ⅲ10,12,202016新课标全国Ⅰ10，202016新课标全国Ⅱ42015新课标全国Ⅰ14★★★★★直线与圆、圆与圆的位置关系2017新课标全国Ⅰ152017新课标全国II92017新课标全国Ⅲ10,12,202016新课标全国Ⅰ10，202016新课标全国Ⅱ42016新课标全国III16★★★★★考点1圆的方程题组一直接求圆的方程调研1已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，且圆心在x轴上，则圆C的标准方程为.【答案】(x－2)2＋y2=10【解析】设所求圆C的方程为(x－a)2＋y2=r2，把所给两点坐标代入方程得222222(5)1(1)3arar，解得a＝2r2＝10，所以所求圆C的方程为(x－2)2＋y2=10.【名师点睛】圆心在x轴上，可设圆心坐标为(a,0)，半径长为r，写出圆C的标准方程，将A，B两点坐标代入求a，r即可得圆C的方程．题组二利用圆的几何性质求圆的方程调研2已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y=0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的标准方程为.【答案】(x＋1)2＋(y＋1)2=2或(x－1)2＋(y－1)2=2【解析】设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知r2＝2b2，r2＝a2＋1，|a－2b|5＝55，∴a＝－1，b＝－1，r2＝2或a＝1，b＝1，r2＝2.故圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2=2或(x－1)2＋(y－1)2=2.☆技巧点拨☆求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．附：（1）圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2=r2.（2）圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以－D2，－E2为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．考点2直线与圆的位置关系题组一与圆有关的对称问题调研1若直线y=kx与圆(x－2)2＋y2=1的两个交点关于直线2x＋y＋b=0对称，则点(k，b)所在的圆的方程为A．221()(5)12xyB．221()(5)12xyC．221()(5)12xyD．221()(5)12xy【答案】A【解析】由题意知直线y=kx与直线2x＋y＋b=0互相垂直，所以k=12.又圆上两点关于直线2x＋y＋b=0对称，故直线2x＋y＋b=0过圆心(2,0)，所以b=－4，结合各选项可知，点12，－4在圆221()(5)12xy上，故选A．☆技巧点拨☆1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．题组二直线与圆、圆与圆的位置关系调研2若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为A．(－3，3)B．[－3，3]C．(－33，33)D．[－33，33]【答案】D【解析】解法一：如图，BC=1，AC=2，∴∠BAC=30°，∴－33≤k≤33.解法二：设直线l的方程为y=k(x－4)，则由题意知，|2k－0－4k|1＋k2≤1，∴－33≤k≤33.解法三：过A(4,0)的直线l可设为x=my＋4，代入(x－2)2＋y2=1中得：(m2＋1)y2＋4my＋3=0，由Δ=16m2－12(m2＋1)=4m2－12≥0得m≤－3或m≥3.∴l的斜率k=1m∈[－33，0)∪(0，33]，特别地，当k=0时，显然有公共点，∴k∈[－33，33]．调研3已知M是圆C：(x－1)2＋y2=1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2=82上的点，则|MN|的最小值为A．4B．42－1C．22－2D．2【答案】D【解析】设圆C′、圆C的半径分别为R，r，∵|CC′|=5＜R－r=7，∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r=2.☆技巧点拨☆解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.题组三与圆有关的综合问题调研4抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________.【答案】(x－1)2＋y2=4【解析】∵抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，∴不妨设A，B两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)，又准线与x轴的交点为M，∴M点的坐标为(－1,0)，则过M，A，B三点的圆的圆心在x轴，设圆心坐标为C(a,0)，则|CA|=|CM|，即22(1)(02)(1)aa，解得a=1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2=4.调研5已知圆221:222Cxy内有一动弦AB，且2AB，以AB为斜边作等腰直角三角形PAB，点P在圆外.（1）求点P的轨迹2C的方程；（2）从原点O作圆1C的两条切线，分别交2C于,,,EFGH四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S.【答案】（1）22224xy；（2）6.【解析】（1）连接11,CACB，∵112,CACB2AB，∴1CAB△为等腰直角三角形.∵PAB△为等腰直角三角形，∴四边形1PACB为正方形.∴12PC，∴点P的轨迹是以1C为圆心，2为半径的圆，故点P的轨迹2C的方程为22224xy.（2）如图，作1CNOF于点N，连接111,,CECFCO.在1RtOCN△中，∵1122,2OCCN，∴6ON.∴11sin2CON，∴130CON.∴OEH△与OFG△为正三角形.∵11CENCFN△≌△，且112CECF，∴2NENF.∴2336244OFGOEHSSS△△2626.【思路点拨】（1）可证1CAB△为等腰直角三角形，进而证明四边形1PACB为正方形，从而可得点P的轨迹是以1C为圆心，2为半径的圆；（2）由四边形EFGH的面积OFGOEHSSS△△，可求出其面积.1．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）直线3542yx和圆2242200xyxy的位置关系是A．相交且过圆心B．相交但不过圆心C．相离D．相切【答案】A2．（重庆綦江区2017~2018学年度第一学期期末高中联考）圆22224xy与圆22219xy的位置关系为A．内切B．外切C．相交D．相离【答案】C【解析】圆22224xy的圆心坐标为2,2，半径12r；圆22219xy的圆心坐标为2,1，半径23r，圆心距为2222125d，125rr，即12drr，故两圆外切.故选B．3．（陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考）若过点3,0A的直线l与曲线2211xy有公共点，则直线l斜率的取值范围为A．3,3B．3,3C．33,33D．33,33【答案】D【解析】设直线l的方程为3ykx，代入圆的方程中，整理得222216290kxkxk，24130k，解得3333k.故选D．4．（四川省2018届高三“联测促改”活动数学试题）过点1,0且倾斜角为30的直线被圆2221xy所截得的弦长为A．32B．1C．3D．23【答案】C5．（2018年普通高校招生全国卷Ⅰ（A）【衡水金卷】高三信息卷）过点3,4P作圆224xy的两条切线，切点分别为A，B，则ABA．53B．52C．2215D．4215【答案】D【解析】设1122,,,AxyBxy，则直线PA的方程为114xxyy，直线PB的方程为224xxyy，点3,4均在两直线上，故1122344,344xyxy，所以直线AB的方程为3x+4y=4，点0,0到直线AB的距离45d，则1642124255AB.本题选择D选项.6．（宁夏吴忠市2018届高三下学期高考模拟）与直线40xy和圆22220xyxy都相切的半径最小的圆的方程是A．22112xyB．22114xyC．22112xyD．22114xy【答案】C7．（湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校2018届高三第二次联考）已知直线20xya与圆O：222xy相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB△为等腰直角三角形，则实数a的值为A．6或6B．5或5C．6D．5【答案】B【解析】∵直线20xya与圆O：222xy相交于A，B两点（O为坐标原点），且AOB△为等腰直角三角形，O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得221,512aa.故选B．8．（云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统））已知直线:3lyxm与圆22:36Cxy相交于A、B两点，若22AB，则实数m的值等于A．−7或−1B．1或7C．−1或7D．−7或1【答案】C9．（江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测）若双曲线22221(0,0)yxabab的渐近线与抛物线21yx相切，且被圆221xya截得的弦长为2，则aA．52B．102C．5D．10【答案】B【解析】由题意可设切点为(x0，20x＋1)，由y′=2x，可得切线方程为y－(20x＋1)=2x0(x－x0)，即y=2x0x－20x＋1，∵双曲线22221(0,0)yxabab的渐近线方程为y=±abx，∴200102xaxb，x0=±1，ab=2，则其中一条渐近线方程为y=2x，圆心0,a到直线2yx的距离是210225aa.故选B．10．（安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试）已知过点2,2P的直线与圆2215xy相切，且与直线10xay平行，则a__________．【答案】−2【解析】因为点P在圆2215xy上，所以过点2,2P的直线与圆2215xy相切的切线为21125,260xyxy，又该切线方程与直线10xay平行，得2,2.aa11．（北京市朝阳区2018年高三一模）已知点2,0,0,2,AB若点M是圆22220xyx