人教版-数学-必修1函数的基本性质-教案

31函数的基本性质学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程一、函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()fx的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值1x、2x,当1x2x时都有12()()fxfx，那么就说()fx在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值1x、2x,当1x2x时都有12()()fxfx，那么就说()fx在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数()yfx在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()yfx在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()yfx的单调区间。2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间：21xy（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数的单调性的判断：设)(xfy，)(xgu，],[bax，],[nmu都是单调函数，则[()]yfgx在],[ba上也是单调函数。①若)(xfy是[,]mn上的增函数，则[()]yfgx与定义在],[ba上的函数)(xgu的单调性相同。②若)(xfy是[,]mn上的减函数，则[()]yfgx与定义在],[ba上的函数)(xgu的单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）练习：（1）函数24xy的单调递减区间是，单调递增区间为．（2）5412xxy的单调递增区间为．3、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数4．例题分析证明：函数1()fxx在(0,)上是减函数。证明：设任意1x，2x∈（0，+∞）且12xx，则2112121211()()xxfxfxxxxx，由1x，2x∈（0，+∞），得120xx，又12xx，得210xx，∴12()()0fxfx，即12()()fxfx所以，1()fxx在(0,)上是减函数。说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：xy1不能说)0,(),0(是原函数的单调递减区间；练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3()1fxx的单调性。2．根据单调函数的定义，判断函数()fxx的单调性。二、函数的奇偶性1．奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数()fx就叫做偶函数。例如：函数2()1fxx,4()2fxx等都是偶函数。（2）奇函数：一般地，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数()fx就叫做奇函数。例如：函数xxf)(，xxf1)(都是奇函数。（3）奇偶性：如果函数()fx是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()fx具有奇偶性。说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）()()fxfx或()()fxfx必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()fx，看是等于()fx还是等于()fx，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（4）函数0)(xf既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足)()(xfxf也满足)()(xfxf。（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。（6）奇函数若在0x时有定义，则(0)0f．2、函数的奇偶性判定方法（1）定义法（2）图像法（3）性质罚3．例题分析：判断下列函数的奇偶性：（1）2()||fxxx（）（2）21()2|2|xfxx（）说明：在判断()fx与()fx的关系时，可以从()fx开始化简；也可以去考虑()()fxfx或()()fxfx；当()fx不等于0时也可以考虑()()fxfx与1或1的关系。五．小结：1．函数奇偶性的定义；2．判断函数奇偶性的方法；3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。二、函数的最大值或最小值学习评价※自我评价你完成本节学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差经典例题1．下面说法正确的选项（）A．函数的单调区间可以是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间)0,(上为增函数的是（）A．1yB．21xxyC．122xxyD．21xy3．函数cbxxy2))1,((x是单调函数时，b的取值范围（）A．2bB．2bC．2bD．2b4．如果偶函数在],[ba具有最大值，那么该函数在],[ab有（）A．最大值B．最小值C．没有最大值D．没有最小值课后作业1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A．y=2x＋1B．y=3x2＋1C．y=x2D．y=2x2＋x＋12．函数y=(x－1)-2的减区间是____．3．偶函数()fx在0,上单调递增，则(2),(3),()2fff从小到大排列的顺序是；4．已知()fx是R上的偶函数，当0x时，2()2fxxx，求()fx的解析式。5．（12分）判断下列函数的奇偶性①xxy13；②xxy2112；高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○2利用图象求函数的最大（小）值；○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T)=f(x)常常写作),2()2(TxfTxf若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T。四．典例解析【奇偶性典型例题】例1．以下五个函数：（1）)0(1xxy；（2）14xy；（3）xy2；（4）xy2log；（5）)1(log22xxy，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是_________点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。题型二：奇偶性的应用例2．设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=_____。例3．已知()fx奇函数，当x∈（0，1）时，1()lg1fxx，那么当x∈（－1，0）时，()fx的表达