高数下册重要知识点

高等数学（下）知识点第1页共14页高等数学下册知识点第六章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、单位向量，零向量，向量平行；2、线性运算：加减法、数乘；3、向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa，),,(zyxbbbb，则),,(zzyyxxbabababa,),,(zyxaaaa；（重点）5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222zyxr；2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,4）方向余弦：rzryrxcos,cos,cos（重点）1coscoscos2225）投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二）数量积，向量积（重点）1、数量积：cosbaba1）2aaa2）ba0bazzyyxxbabababa2、向量积：bac高等数学（下）知识点第2页共14页大小：sinba，方向：cba,,符合右手规则1）0aa2）ba//0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、旋转曲面：yoz面上曲线0),(:zyfC，（非重点）（重点）绕y轴旋转一周：0),(22zxyf（重点）绕z轴旋转一周：0),(22zyxf2、柱面：0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面（四）空间曲线及其方程1、一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF2、参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos3、空间曲线在坐标面上的投影高等数学（下）知识点第3页共14页0),,(0),,(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH（五）平面及其方程（重点）1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),,(CBAn，过点),,(000zyx2、一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、两平面的夹角：),,(1111CBAn，),,(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA21//212121CCBBAA4、点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（六）空间直线及其方程（重点）1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),,(pnms，过点),,(000zyx高等数学（下）知识点第4页共14页3、参数式方程：ptzzntyymtxx0004、两直线的夹角：),,(1111pnms，),,(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21//LL212121ppnnmm5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm//L0CpBnAmLpCnBmA第七章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、多元函数：),(yxfz的定义域（重点）2、极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(003、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx4、偏导数定义5、计算偏导数以及二阶偏导数（重点）6、方向导数：（重点：记住公式）高等数学（下）知识点第5页共14页coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。（重点）8、掌握计算全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（重点）（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：（重点）2、微分法1）定义：ux2）复合函数求导：链式法则（重点）z例：若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则vyzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy3）隐函数求导（重点）由方程,,0Fxyz确定(,)zzxy，求,zzxy等。方法：第一步．构造函数(,,)FFxyz,第二步．求xFyFzF，求,,xyzFFF时，均视,,xyz为地位平等的自变量。偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义12234高等数学（下）知识点第6页共14页即求xF时，视,yz为常数，其余类似。第三步．xzFzxFyzFzyF（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数),(yxfz的极值（重点）解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，①若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；②若02BAC，函数没有极值；③若02BAC，不定。2）条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值（重点）令：),(),(),(yxyxfyxL———Lagrange函数解方程组0),(00yxLLyx2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的高等数学（下）知识点第7页共14页切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线（重点）曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程求法：第一步．构造函数(,,)FFxyz,第二步．求xFyFzF，求,,xyzFFF时，均视,,xyz为地位平等的自变量。即求xF时，视,yz为常数，其余类似。第三步．切平面的法向量000000000((,,),(,,),(,,))xyznFxyzFxyzFxyz第四步：切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx曲面:(,)zfxy，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程求法：第一步．构造函数(,)Fzfxy,第二步．求xFyFzF，求,,xyzFFF时，均视,,xyz为地位平等的自变量。即求xF时，视,yz为常数，其余类似。第三步．切平面的法向量0000((,),(,),1)xynfxyfxy第四步：切平面方程为0000000(,)()(,)()()0xyfxyxxfxyyyzz法线方程为：0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy第八章重积分（一）二重积分1、性质高等数学（下）知识点第8页共14页2、几何意义：曲顶柱体的体积。3、二重积分计算（重点）：1）直角坐标X-型：bxaxyxyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyyY-型：dycyxyyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx2）极坐标)()(),(21D21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf3）交换积分次序（重点）第九章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义的理解2、性质：1）[(,)(,)]d(,)d(,)d.LLLfxyxysfxysgxys2）12(,)d(,)d(,)d.LLLfxysfxysfxys).(21LLL3）在L上，若),(),(yxgyxf，则(,)d(,)d.LLfxysgxys高等数学（下）知识点第9页共14页4）lsLd(l为曲线弧L的长度)（重点）3、计算：（重点）设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，则22(,)d[(),()]()()d,()Lfxysfttttt（二）对坐标的曲线积分1、定义（理解）：(,)d(,)dLPxyxQxyy2、性质：用L表示L的反向弧,则LLryxFryxFd),(d),(（重点）3、计算：（重点）设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx，则(,)d(,)d{[(),()]()[(),()]()}dLPxyxQxyyPtttQtttt4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLPxQyPQs.（三）格林公式（重点）高等数学（下）知识点第10页共14页1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数),(,),(yxQyxP在D上具有连续一阶偏导数,则有LDyQxPyxyPxQdddd2、G为一个单连通区域，函数),(,),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则有如下四个等价命题：yPxQ曲线积分ddLPxQy在G内与路径无关曲线积分dd0LPxQyyyxQxyxPd),(d),(在G内为某一个函数),(yxu的全微分第十章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211部分和：nnkknuuuuuS3211，正项级数：1nnu，0nu交错级数：1)1(nnnu，0nu2）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散3）条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散，称1nnu为条件收敛；（重点）绝对收敛：1nnu收敛，称1nnu为绝对收敛（重点）高等数学（下）知识点第11页共14页2、性质（重点）：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数1nna，1nnb收敛，则1)(nnnba收敛；（重点）3）级数1nna收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数1nnu收敛0limnnu.（注意：不是充分条件！）（重点）0limnnu级数1nnu收敛（重点）lim0nnu级数1nnu发散（重点）3、审敛法正项级数：1nnu，0nu1）定义