微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解

1第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011xxxxx解(1)原不等式可化为(3)(3)0xx,其解为33x,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x或11x,其解为2x或0x,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+∞).(3)原不等式的解为21x,用区间表示是(-2,1).(4)原不等式可化为0.0110.0110xx即1.010.991xx用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).2.用区间表示下列函数的定义域:221(1)1;(2)arcsin(1)lg(lg);1(3)65.ln(2)yxyxxxyxxx解(1)要使函数有意义,必须2010xx即011xx所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg00xxx即0210xxx所以函数的定义域是12x,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020xxxx即6112xxx所以函数的定义域是-6≤x1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f(0),f(2),f(a)(a为实数),并作出图形2(1)1,0,2,011,12xxyxxx；(2)y＝221,11,12xxxx解(1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或Dfxxxxxxxxx10(0)200,1,()2201112aafffaaaa,图1-1图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)Dfxxxxxx222211(0)101,11,()22112aafffaaa4※.设1,1()1,1xfxx,求f(f(x)).解当|x|≤1时,f(x)=1,f(f(x))=f(1)=1;当|x|1时,f(x)=-1,f(f(x))=f(-1)=1,综上所述f(f(x))=1(x∈R).5.判定下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝21cosxx；(2)f(x)＝(x2＋x)sinx；(3)※f(x)＝1e,0e1,0xxxx3解(1)∵221()1()()cos()cosxxfxfxxx∴f(x)是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin)()sin()fxxxxxxxxxxfx且()()fxfx,∴f(x)是非奇非偶函数.(3)※当x0时,-x0,()1(1)()eexxfxfx;当x≥0时,-x≤0,()()11(1)()eeexxxfxfx,综上所述,xR,有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.6.设f(x)在区间(-l,l)内有定义,试证明：(1)f(-x)+f(x)为偶函数；(2)f(-x)-f(x)为奇函数.证(1)令()()()Fxfxfx(,)xll有()[()]()()()()FxfxfxfxfxFx所以()()()Fxfxfx是偶函数;(2)令()()()Fxfxfx,(,)xll有()[()]()()()[()()]()FxfxfxfxfxfxfxFx所以()()()Fxfxfx是奇函数.7.试证：(1)两个偶函数的代数和仍为偶函数；(2)奇函数与偶函数的积是奇函数.证(1)设f(x),g(x)均为偶函数,令()()()Fxfxgx则()()()()()()FxfxgxfxgxFx,所以()()fxgx是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,令()()()Fxfxgx,则()()()()()()FxfxgxfxgxFx,所以()()fxgx是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数.8.求下列函数的反函数:422(1)2sin3,,;(2);66212101,(3)()2(2)12.xxyxxyxxfxxx解(1)由2sin3yx得1arcsin32yx所以函数2sin3yx的反函数为1arcsin(22)32xyx.(2)由221xxy得21xyy,即2log1yxy.所以函数221xxy的反函数为2log(01)1xyxx.(3)※当01x时,由21yx得1,112yxy;当12x时,由22(2)yx得22,12xyy;于是有11122212yyxyy,所以函数22101()2(2)12xxfxxx的反函数是1112()2212xxfxxx.9.将y表示成x的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln,2,sin;(3)arctan,,().为实数uvyuxyuuvxyuuvvaxa解(1)211010uxy,定义域为(-∞,+∞);(2)sinlnln2ln2sinln2vxyux定义域为(-∞,+∞);(3)22arctanarctanarctanyuvax(a为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?(1)y=arcsin3xa；(2)y=sin3lnx;(3)y=tan2xa；(4)y=ln［ln2(ln3x)］.5解(1)令arcsinxua,则3yu,再令xva,则arcsinuv,因此3arcsinxya是由基本初等函数3,arcsin,xyuuvva复合而成的.(2)令sinlnux,则3yu,再令lnvx,则sinuv.因此3sinlnyx是由基本初等函数3,sin,lnyuuvvx复合而成.(3)令2tanux,则uya,再令2vx,则tanuv,因此2tanxya是由基本初等函数2,tan,uyauvvx复合而成.(4)令23ln(ln)ux,则lnyu,再令3ln(ln)vx则2uv,再令3lnwx,则lnvw,再令lntx,则3wt,因此23ln[ln(ln)]yx是由基本初等函数2ln,,ln,yuuvvw3,lnwttx复合而成.2.设f(x)的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域：(1)f(x2)；(2)f(sinx);(3)f(x+a),(a＞0)；(4)f(ex+1).解(1)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x2≤1,于是-1≤x≤1,所以f(x2)的定义域为[-1,1].(2)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤sinx≤1,于是2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈z,所以f(sinx)的定义域为[2kπ,(2k+1)π],k∈Z.(3)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x+a≤1即-a≤x≤1-a所以f(x+a)的定义域为[-a,1-a].(4)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤ex+1≤1,解此不等式得x≤-1,所以f(ex+1)的定义域为(-∞,-1].3.求下列函数的表达式：(1)设(sinx)=cos2x+sinx+5,求(x);(2)设g(x-1)=x2+x+1,求g(x);(3)设1()fxx=x2+21x,求f(x).解(1)法一:令sintx,则222cos1sin1xxt,代入函数式,得:22()156ttttt,即2()6xxx.法二:将函数的表达式变形得:22(sin)(1sin)sin56sinsinxxxxx令sintx,得2()6ttt,即2()6xxx.6(2)法一:令1tx,则1xt,将其代入函数式,得22()(1)(1)133gttttt即2()33gxxx.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3gxxxxxx令1xt,得2()33gttt,即2()33gxxx.(3)法一:令1xtx,两边平方得22212xtx即22212xtx,将其代入函数式,得2()2ftt,即2()2fxx.法二:将函数表达式变形,得222111222fxxxxxx令1xtx,得2()2ftt,即2()2fxx.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x的二次函数,已知x=0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x).解设2()TRxaxbxc,由已知(0)0,(2)6,(4)8TRTRTR即04261648cabcabc解得1240abc所以总收入函数21()42TRxxx.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x,实际每吨售价为P元,由题设可得P与x间函数关系为1307001177001000xPx,7总收入130700()130700(700)1177001000TRxxxxx,即130700()91001177001000TRxxxxx.3.已知需求函数为105QP,成本函数为C=50+2Q,P、Q分别表示价格和销售量.写出利润L与销售量Q的关系,并求平均利润.解由题设知总收入2()105QRQPQQ,则总利润221()()()8505021055QLQRQCQQQQQ,平均利润()150()85LQALQQQQ.4.已知需求函数Qd和供给函数Qs,分别为Qd=100233P,Qs=-20+10P,求相应的市场均衡价格.解当dsQQ时供需平衡,由dsQQ得1002201033PP,解得5P所以市场均衡价格5P.