22.2二次函数与一元二次方程关系(公开课)

人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程复习.1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由确定。＞0=0＜0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根b2-4ac2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么50-20t2=，如果h=20，那50-20t2=，如果h=0，那50-20t2=。如果要想求t的值，那么我们可以求的解。15200方程一、问题导入问题1:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=20t–5t2。考虑下列问题:(1)球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间?(2)球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5m?若能,需要多少时间?(4)球从飞出到落地要用多少时间?解：（1）当h=15时，20t–5t2=15t2－4t＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.1s3s15m(1)球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间?h=20t–5t2解：（2）当h=20时，20t–5t2=20t2－4t＋4=0t1=t2=2当球飞行2s时，它的高度为20m.2s20m(2)球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间?h=20t–5t2解：（3）当h=20.5时，20t–5t2=20.5t2－4t＋4.1=0因为(－4)2－4×4.10，所以方程无实根。球的飞行高度达不到20.5m.20.5m(3)球的飞行高度能否达到20.5m?若能,需要多少时间?h=20t–5t2解:（4）当h=0时，20t–5t2=0t2－4t=0t1=0，t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面。0s4s0m(4)球从飞出到落地要用多少时间?h=20t–5t2从上面我们看出，对于二次函数h=20t–5t2中，已知h的值，求时间t？其实就是把函数值h换成常数，求一元二次方程的解。再如：已知二次函数y=-x²+4x的值为3，求自变量x的值,可以看作求一元二次方程的解。反过来，求方程x²-4x+3=0的解又可以看作已知二次函数__________的值为0，求自变量x的值。y=x²-4x+3-x²+4x=3(即x²-4x+3=0)当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，被给定一个y值(常数)时，二次函数可转化为一元二次方程。求二次函数自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解。二次函数与一元二次方程之间可相互转化，两者之间有密切联系。2、发现探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在X轴上，∴它们的纵坐标为0，∴令y=0，则x2-3x+2=0解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0），B（2，0）你发现方程的解x1、x2与点A、B的横坐标有什么联系？x2-3x+2=0二、讲授新知141210864224681510551015fx()=x23∙x+2(1,0)(2,0)结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（），B（）。x1，0x2，0xOABx1x2ya＞0同学们自己画出a＜0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标。1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式(△=b2-4ac)与方程根的关系是：①当△﹥0时方程；②当△=0时，方程；③当△﹤0时，方程。。有两个不等实数根有两个相等实数根没有实数根复习提问有两个不等实数根没有实数根2、二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴的交点个数有几种情形？想一想,画一画三种可能：①两个交点②一个交点③没有交点1.a＞0时2.a＜0时0yx0yx0yxyoxoyxoyx有两个根有一个根（两个相同的根）没有根有两个交点有一个交点没有交点b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系ax2+bx+c=0的根y=ax2+bx+c的图象与x轴若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则________________。b2–4ac≥0△＞0△=0△＜0oxy△=b2–4ac课堂小结二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根只有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0(1).图象y=x2+2x与x轴交点个数()一元二次方程x2+2x=0根的个数()(2)图象y=x2-2x+1与x轴交点个数()一元二次方程x2-2x+1=0根的个数()(3)图象y=x2-2x+2与x轴交点个数()一元二次方程x2-2x+2=0根的个数(）例1、二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图：y=x2-2x+2两个交点一个交点没有交点△﹥0，有两个不相等实数根△=0，有两个相等实数根△﹤0无实数根y=x2-2x+1y=x2+2x1.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2，x2=5/3，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.2.抛物线y=2x2－3x－5与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点(,).3.抛物线y=x2-4x+4与x轴有个交点,坐标是(,).4.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A两个交点B一个交点C没有交点5.若抛物线y=ax2+bx+c=0，当a0，c0时，图象与x轴的交点情况是（）A.无交点B.只有一个交点C.有两个交点D.不能确定6.若二次函数y=mx2-6x+1图象与x轴只有一个公共点,求m的值.随堂演练二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根只有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数和一元二次方程y=ax2+bx+c的根的个数关系：归纳三、课堂小结1、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0之间可相互转化：求二次函数y=ax2+bx+c自变量x的值，就是求一元二次方程ax2+bx+c=0的解；求一元二次方程ax2+bx+c=0的解，就是二次函数的值为0时，求自变量x的值。2、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根相等。二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac0只有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac03、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?随堂练习1.不与x轴相交的抛物线是（）A.y=2x2–3B.y=－2x2+3C.y=－x2–3xD.y=－2(x+1)2－32.若抛物线y=ax2+bx+c，当a0，c0时，图象与x轴交点情况是（）A.无交点B.只有一个交点C.有两个交点D.不能确定DC3.如果关于x的一元二次方程x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.4.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上，则c=＿＿.11165.若抛物线y=x2+bx+c的顶点在第一象限,则方程x2+bx+c=0的根的情况是＿＿＿＿＿.b2－4ac06.抛物线y=2x2－3x－5与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点.7.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2，x2=5/3，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.(0，－5)(5/2，0)(－1，0)(-2，0)(5/3，0)8.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2+bx+c－3=0根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个同号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根xAoyx=－13-11.3.9.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3x3.23B.3.23x3.24C.3.24x3.25D.3.25x3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C10.已知抛物线和直线相交于点P(3，4m)。（1）求这两个函数的关系式；（2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。88221kxxy12mxy解：（1）因为点P（3，4m）在直线上，所以，解得m＝1所以，P（3，4）。因为点P（3，4）在抛物线上，所以4＝18－24＋k＋8解得k＝2（2）依题意，得解这个方程组，得所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）。12mxy134mm21yx212810yxx108212xxyxy4311yx5.25.122yx)43,21(22222(1)23()..0.123(2)33,__________.(3)0,().....yxxxABymxxmmxxxnyxxnABCD抛物线与轴的交点个数有　　　个　　　个　　　Ｃ．个　　　Ｄ．个抛物线经过原点则其顶点坐标为关于的一元二次方程没有实数根则抛物线的顶点在　　　第一象限　　　　第二象限第三象限　　　　第四象限CA?３.求抛物线①与y轴的交点坐标;②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0?()2218yx练习１.已知抛物线y＝x2－mx＋m－１.(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.=1＞1=2=0２、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远为正的条件是______a0,△0(4)已知二次函数y=ax2+bx+c,的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是.XY05(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当a0,c0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定CX1=0，x2=5.),0,1(,)2(;,:)1(.2.422点坐标求为点坐标且、轴有两个公共点若该二次函数的图象与轴总有公共点该二次函数的图象与对于任意实数求证已知二次函数BABAxxmmxymx.,02402,0:)1(9)(22222轴总有公共点抛物线与取何值不论得令证明xmmxymmmmx)0,2(1,20)1)(2(,02120)0,1()2(212222212点坐标为　　即上在抛物线BmmmmmxyAmmmmmx5：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1(1)求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有交点，并指出当m为何值时，只有一个交点。（2）当m为何值时，函数y的图像经过原点。（3）指出（2）的图像中，使y＜0时，x的取值范围及使y＞0时，x的取值范围5.二次函数y=x2+ax+b的图