高等数学-同济第六版(上册)习题全解

习题1−11.设A=(−∞,−5)∪(5,+∞),B=[−10,3),写出A∪B,A∩B,A\B及A\(A\B)的表达式.解A∪B=(−∞,3)∪(5,+∞),A∩B=[−10,−5),A\B=(−∞,−10)∪(5,+∞),A\(A\B)=[−10,−5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(A∩B)C=AC∪BC.证明因为x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔x∉A或x∉B⇔x∈AC或x∈BC⇔x∈AC∪BC,所以(A∩B)C=AC∪BC.3.设映射f:X→Y,A⊂X,B⊂X.证明(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).证明因为y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B)y∈f(A)或y∈f(B)⇔y∈f(A)∪f(B),所以f(A∪B)=f(A)∪f(B).(2)因为y∈f(A∩B)⇒∃x∈A∩B,使f(x)=y⇔(因为x∈A且x∈B)y∈f(A)且y∈f(B)⇒y∈f(A)∩f(B),所以f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).4.设映射f:X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使,,其中IXIfg=DYIgf=DX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有IXx=x;对于每一个y∈Y,有IYy=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f−1.证明因为对于任意的y∈Y,有x=g(y)∈X,且f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1≠x2,必有f(x1)≠f(x2),否则若f(x1)=f(x2)⇒g[f(x1)]=g[f(x2)]⇒x1=x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射.对于映射g:Y→X,因为对每个y∈Y,有g(y)=x∈X,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:X→Y,A⊂X.证明:(1)f−1(f(A))⊃A;(2)当f是单射时,有f−1(f(A))=A.证明(1)因为x∈A⇒f(x)=y∈f(A)⇒f−1(y)=x∈f−1(f(A)),所以f−1(f(A))⊃A.(2)由(1)知f−1(f(A))⊃A.另一方面,对于任意的x∈f−1(f(A))⇒存在y∈f(A),使f−1(y)=x⇒f(x)=y.因为y∈f(A)且f是单射,所以x∈A.这就证明了f−1(f(A))⊂A.因此f−1(f(A))=A.6.求下列函数的自然定义域:(1)23+=xy;解由3x+2≥0得32−x.函数的定义域为),32[∞+−.(2)211xy−=;解由1−x2≠0得x≠±1.函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞).(3)211xxy−−=;解由x≠0且1−x2≥0得函数的定义域D=[−1,0)∪(0,1].(4)241xy−=;解由4−x20得|x|2.函数的定义域为(−2,2).(5)xysin=;解由x≥0得函数的定义D=[0,+∞).(6)y=tan(x+1);解由21π≠+x(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为12−+≠ππkx(k=0,±1,±2,⋅⋅⋅).(7)y=arcsin(x−3);解由|x−3|≤1得函数的定义域D=[2,4].(8)xxy1arctan3+−=;解由3−x≥0且x≠0得函数的定义域D=(−∞,0)∪(0,3).(9)y=ln(x+1);解由x+10得函数的定义域D=(−1,+∞).(10)xey1=.解由x≠0得函数的定义域D=(−∞,0)∪(0,+∞).7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,g(x)=2x;(3)334)(xxxf−=,31)(−=xxxg.(4)f(x)=1,g(x)=sec2x−tan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x0时,g(x)=−x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设⎪⎩⎪⎨⎧≥=3||03|||sin|)(ππϕxxxx,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ−,ϕ(−2),并作出函数y=ϕ(x)的图形.解21|6sin|)6(==ππϕ,22|4sin|)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ,0)2(=−ϕ.9.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xxy−=1,(−∞,1);(2)y=x+lnx,(0,+∞).证明(1)对于任意的x1,x2∈(−∞,1),有1−x10,1−x20.因为当x1x2时,0)1)(1(112121221121−−−=−−−=−xxxxxxxxyy,所以函数xxy−=1在区间(−∞,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1x2时,有0ln)()ln()ln(2121221121+−=+−+=−xxxxxxxxyy,所以函数y=x+lnx在区间(0,+∞)内是单调增加的.10.设f(x)为定义在(−l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在(−l,0)内也单调增加.证明对于∀x1,x2∈(−l,0)且x1x2,有−x1,−x2∈(0,l)且−x1−x2.因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以f(−x2)f(−x1),−f(x2)−f(x1),f(x2)f(x1),这就证明了对于∀x1,x2∈(−l,0),有f(x1)f(x2),所以f(x)在(−l,0)内也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l,l)上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−F(x),所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)⋅g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=[−f(x)][−g(x)]=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数,则F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)[−g(x)]=−f(x)⋅g(x)=−F(x),所以F(x)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y=x2(1−x2);(2)y=3x2−x3;(3)2211xxy+−=;(4)y=x(x−1)(x+1);(5)y=sinx−cosx+1;(6)2xxaay−+=.解(1)因为f(−x)=(−x)2[1−(−x)2]=x2(1−x2)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)由f(−x)=3(−x)2−(−x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222xfxxxxxf=+−=−+−−=−,所以f(x)是偶函数.(4)因为f(−x)=(−x)(−x−1)(−x+1)=−x(x+1)(x−1)=−f(x),所以f(x)是奇函数.(5)由f(−x)=sin(−x)−cos(−x)+1=−sinx−cosx+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(xfaaaaxfxxxx=+=+=−−−−−,所以f(x)是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y=cos(x−2);(2)y=cos4x;(3)y=1+sinπx;(4)y=xcosx;(5)y=sin2x.解(1)是周期函数,周期为l=2π.(2)是周期函数,周期为2π=l.(3)是周期函数,周期为l=2.(4)不是周期函数.(5)是周期函数,周期为l=π.14.求下列函数的反函数:(1)31+=xy;(2)xxy+−=11;(3)dcxbaxy++=(ad−bc≠0);(4)y=2sin3x;(5)y=1+ln(x+2);(6)122+=xxy.解(1)由31+=xy得x=y3−1,所以31+=xy的反函数为y=x3−1.(2)由xxy+−=11得yyx+−=11,所以xxy+−=11的反函数为xxy+−=11.(3)由dcxbaxy++=得acybdyx−+−=,所以dcxbaxy++=的反函数为acxbdxy−+−=.(4)由y=2sin3x得2arcsin31yx=,所以y=2sin3x的反函数为2arcsin31xy=.(5)由y=1+ln(x+2)得x=ey−1−2,所以y=1+ln(x+2)的反函数为y=ex−1−2.(6)由122+=xxy得yyx−=1log2,所以122+=xxy的反函数为xxy−=1log2.15.设函数f(x)在数集X上有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数f(x)在X上有界,则存在正数M,使|f(x)|≤M,即−M≤f(x)≤M.这这就证明了f(x)在X上有下界−M和上界M.再证充分性.设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1≤f(x)≤K2.取M=max{|K1|,|K2|},则−M≤K1≤f(x)≤K2≤M,即|f(x)|≤M.这就证明了f(x)在X上有界.16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:(1)y=u2,u=sinx,61π=x,32π=x;(2)y=sinu,u=2x,,81π=x,42π=x;(3)uy=,u=1+x2,x1=1,x2=2;(4)y=eu,u=x2,x1=0,x2=1;(5)y=u2,u=ex,x1=1,x2=−1.解(1)y=sin2x,41)21(6sin221===πy,43)23(3sin222===πy.(2)y=sin2x,224sin)82sin(1==⋅=ππy,12sin)42sin(2==⋅=ππy.(3)21xy+=,21121=+=y,52122=+=y.(4),,.2xey=1201==eyeey==212(5)y=e2x,y1=e2⋅1=e2,y2=e2⋅(−1)=e−2.17.设f(x)的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域:(1)f(x2);(2)f(sinx);(3)f(x+a)(a0);(4)f(x+a)+f(x−a)(a0).解(1)由0≤x2≤1得|x|≤1,所以函数f(x2)的定义域为[−1,1].(2)由0≤sinx≤1得2nπ≤x≤(2n+1)π(n=0,±1,±2⋅⋅⋅),所以函数f(sinx)的定义域为[2nπ,(2n+1)π](n=0,±1,±2⋅⋅⋅).(3)由0≤x+a≤1得−a≤x≤1−a,所以函数f(x+a)的定义域为[−a,1−a].(4)由0≤x+a≤1且0≤x−a≤1得:当210≤a时,a≤x≤1−a;当21a时,无解.因此当210≤a时函数的定义域为[a,1−a],当21a时函数无意义.18.设⎪⎩⎪⎨⎧−==1||11||01||1)(xxxxf,g(x)=ex,求f[g(x)]和g[f(x)],并作出这两个函数的图形.解⎪⎩⎪⎨⎧−==1||11||01||1)]([xxxeeexgf,即⎪⎩⎪⎨⎧−==010001)]([xxxxgf.,即()⎪⎩⎪⎨⎧===−1||1||e1||][101)(xexxeexfgxf()⎪⎩⎪⎨⎧=