八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点

3整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：_______3aa；________22aa；________8253baba__________________210242333222xxyxyxxyxyyx2、同底数幂的乘法法则：am·an=am+n(m，n是正整数).同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：________3aa；________32aaa3、幂的乘方法则：(am)n=amn(m，n是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.例如：_________)(32a；_________)(25x；()334)()(aa4、积的乘方的法则：(ab)m=ambm(m是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例如：________)(3ab；________)2(32ba；________)5(223ba5、同底数幂的除法法则：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：10a例如：________3aa；________210aa；________55aa6、单项式乘法法则yx32)5)(2(22xyyx)2()3(22xyxy2232)()(baba7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.yxyx2324xyyx6242581031068、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(cbam)532(2yxx)25(32babaab9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(xx)12)(32(yxyx))((22bababa10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.xxxy56；aaba4482bababa232454520ccbca212122211、整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.4两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：（4a－1）（4a+1）=___________；（3a－2b）（2b+3a）=___________；11mnmn=；)3)(3(xx；12、整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.例如：____________522ba；_______________32yx_____________22ab；______________122m二、因式分解：1、提公因式法：4yxy32xxx2+12x3+4x)1()1(anam2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22bababa12x2294ba22)(16zyx22)2()2(baba（2）、完全平方公式：222)(2bababa222)(2bababa442mm2269yxyx924162xx36)(12)(2baba3、分组分解法：1ababab－c＋b－aca2－2ab＋b2－c24、“十字相乘法”：即式子x2+(p+q)x+pq的因式分解.x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x2＋7x＋6（2）、x2－5x－6（3）、x2－5x＋6整式的乘法[同底数幂的乘法]am·an=am+n（m、n都是正整数）[幂的乘方](am)n＝amn(m，n都是正整数)[积的乘方](ab)n＝anbn(n是正整数)[单项式乘以单项式]单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．[单项式乘以多项式]单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．[多项式乘以多项式]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．平方差公式[平方差公式](a＋b)(a－b)＝a2－b21.公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.2.公式的应用：5⑴公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.⑵公式中的ab22是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a+b)(a-b)=a2－b2↓↓↓↓↓↓计算：(1+2x)(1-2x)=(1)2－(2x)2=1-4x2完全平方公式[完全平方公式](a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4aba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4aba2+b2=(a-b)2+2ab(a+b)2-(a-b)2=4ab[公式的推广](a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac整式的除法[同底数幂的除法]am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且mn)．a0=1(a≠0)任何非零数的零次幂是1.[单项式除以单项式]单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．[多项式除以单项式]多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．因式分解[因式分解]把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.[提公因式法]ac＋bc=（a＋b）c[公式法]a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2[十字相乘法]x2＋（p＋q）x＋pq=（x＋p）（x＋q）巩固练习一、训练平台61.下列各式中，计算正确的是()A.27×27=28B.25×22=210C.26+26=27D.26+26=2122.当x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于()A.-239B.-18C.18D.2393.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于()A.425B.25C.-25D.04.设n为正整数，若a2n=5，则2a6n-4的值为()A.26B.246C.242D.不能确定5.(a+b)(a-2b)=.6.(2a+0.5b)2=.7.(a+4b)(m+n)=.8.计算.(1)(2a-b2)(b2+2a)=；(2)(5a-b)(-5a+b)=.9.分解因式.(1)1-4m+4m2；(2)7x3-7x.10.先化简，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x，其中x=3，y=-1.5.二、探究平台1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)为()A.(a-b)(a2+b2)B.(a-b)2(a+b)C.(a-b)3D.-(a-b)32.下列计算正确的是()A.a8÷a2=a4(a≠0)B.a3÷a4=a(a≠0)C.a9÷a6=a3(a≠0)D.(a2b)3=a6b3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是()A.x4-0.1=(x2+0.1)(x2-0.1)B.-x2-16=(-x+4)(-x-4)C.2xn+x3n=xn(2+x3)D.41-x2=41(1+2x)(1-2x)4.分解因式：-a2+4ab-4b2=.5.如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是.6.(3x3+3x)÷(x2+1)=.7.1.22222×9-1.33332×4=.8.计算.(1)12345678921234567890123456789112345678902；(2)20032002200220002002220022323.9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)；(2)x4-81x2y2.10.112xx+x(1+x1)，其中x=2-1.三、交流平台71.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=0.8时的面积.2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:0bcbcaaaa82.异分母加减法则:0,0bdbcdabcdaacacacacac;3.分式的乘法与除法:bdbdacac,bcbdbdadacac4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.负指数幂:a-p=1paa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,,,21,22，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义（1）44xx（2）232xx（3）122x（4）3||6xx（5）xx11题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.（1）31xx（2）42||2xx（3）653222xxxx题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；（