八年级数学上册三角形的内角和

三角形的内角ABCAD12EB思路总结为了证明三角形三个内角的和为180°,将它们的和转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法.三角形内角和定理:三角形的内角和等于1800.探究1①一个三角形中最多有个直角；②一个三角形中最多有个钝角；③一个三角形中至少有个锐角；④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为。为什么？证法１：过A作EF∥BA，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA三角形的内角和等于1800.学科网证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA三角形的内角和等于1800.证法3：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBEA三角形的内角和等于1800.学科网学科网在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。思路总结为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.1、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()③②①(A)带①去(B)带②去(C)带③去(D)带①和②去C1、在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A=，∠B=，∠C=.2、在△ABC中，如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是什么三角形？80°40°60°解：∵∠B=∠C∴∠B=2∠A，∠C＝3∠A∵∠A＋∠B＋∠C＝180°∴∠A＋2∠A＋3∠A＝180°∴∠A＝30°∴∠B=60°，∠C＝90°∴△ABC是直角三角形.∠A=基础计算解三角3:在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度数。解：在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵∠B=∠C∴∠B=∠C=50°ABC如图所示，Ｃ岛在Ａ岛的北偏东５０°方向，Ｂ岛在Ａ岛的北偏东８０°方向，Ｃ岛在Ｂ岛的北偏西４０°方向．Z```xxkＣＡＢＤＥ北北50°40°80°从Ｃ岛看Ａ．Ｂ两岛的视角是多少度？30°100°60°90°（三）基础训练，拓展应用【练习1】如图，从A处观测C处时仰角∠CAD=30°，从B处观测C处时仰角∠CBD=45°，从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少度？•如图，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝___分析：因为∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝180°－40°＝140°所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝140°＋140°＝280°123440°开启智慧2、如图：已知在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B=45°，∠F=30°，∠CGF=70°，求∠A的度数.解：在△CGF中，∠GCF=180°－∠CGF－∠F=180°－70°－30°=80°∴∠ACB=180°－∠GCF=180°－80°=100°在△ABC中，∠A=180°－∠B－∠ACB=180°－45°－100°=35°如图,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___165432∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=3×180°－180°=360°解：789•如图，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____解：连结BD，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°＋180°＝360°ABC2314D思考题：如图，已知∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，求证：AB∥CD（用两种方法证明）DFNMBAC三角形的内角第2课时互余的角你能把下列推理补充完整吗？如图，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_____().∵∠C=90°()，∴∠A+∠B=_______.180°三角形内角和定理已知90°直角三角形的性质：两个锐角互余.BCA直角三角形的表示------Rt△ABC（1）如图（1），∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由.（2）如图（2），∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.探究二：oDCBA（1）oDCBA（2）Z.x.x.K方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.第（1）题方法对比：oDCBA如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE相交于点F，∠ECF与∠DBF有什么关系？为什么？探究二：FEDCBA图4追问设疑：∠A与∠BFC又有什么关系？解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∴∠BEA=∠BDF=90°，∴∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠DFB=90°.∴∠A=∠DFB.∵∠DFB+∠BFC=180°，∴∠A+∠BFC=180°.尝试应用：如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝3:4:5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，求∠BHC的度数.HEDCBA图5思考：在△ABC中，若∠A+∠B=90°，你能判断它是什么三角形吗？请说出判断的依据.探究三：判断：△ABC是直角三角形.证明：∵∠A+∠B=90°，∴∠C=180°-∠A-∠B=90°.∴△ABC是直角三角形（直角三角形定义）.直角三角形的判定2：有两个锐角互余.1、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ACD＝∠B；求证：△ACD是Rt△.证明：在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90º（直角三角形的两个锐角互余）∵∠ACD＝∠B∴∠A+∠ACD＝90º∴△ACD是Rt△（有两个角互余的三角形是直角三角形）ACBD能力拓展2、如图，∠ACB＝90º，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？结论：∠ACD＝∠B理由如下：在Rt△ACB中，∠A+∠B＝90º在Rt△ACD中，∠A+∠ACD＝90º∴∠ACD＝∠B点拨精讲：利用同角的余角相等可以方便证出两角的相等关系。ACBD3、如图，∠C＝90，∠AED＝∠B，△ADE是直角三角形吗？为什么？结论：△ADE是直角三角形理由如下：在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90º（直角三角形的两个锐角相等）∵∠AED＝∠B∴∠A+∠AED＝90º∴△ADE是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）ACBED4、在直角△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ=９０度，ＡＤ是高，找出图中相等的角．BCAＤ１２