2018年10月27日启航杯数学答案

数学试卷1（初试）参考答案一、填空题1．04kk且2．16843、24、2yx5.21166.107.四和十，或六和八8.11二、选择题9、C10、D11、B12、C13、A14、B15、C16、D三、解答题17、解：三式相加，得：(a＋b＋c)＋(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝72(4分)∴(a＋b＋c)2＋(a＋b＋c)－72＝0∴〔(a＋b＋c)＋9〕〔(a＋b＋c)－8〕＝0(8分)∵a，b，c都是正实数∴a＋b＋c＋9＞0∴a＋b＋c＝8(12分)18．⑴cosα；………………………………3分⑵553；………………………………6分⑶315(由2245xxx得x=3,tanα=51533)…………9分⑷1≤sinα+cosα≤2………………………………12分19．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）…………………………………3分（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得0＝36a－6b＋80＝4a＋2b＋8解得a＝－23b＝－83∴所求抛物线的表达式为y＝－23x2－83x＋8………………………………………6分（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴EFAC＝BEAB即EF10＝8－m8∴EF＝40－5m4……………………………………………………………………7分过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝45∴FGEF＝45∴FG＝45·40－5m4＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝12（8－m）×8－12（8－m）（8－m）＝12（8－m）（8－8＋m）＝12（8－m）m＝－12m2＋4m自变量m的取值范围是0＜m＜8…………………………………………………9分（4）存在．理由：∵S＝－12m2＋4m＝－12（m－4）2＋8且－12＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形．…………………………………………………………12分第19题图(批卷教师用图)