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武汉轻工大学数学建模论文2015-1-汽车租赁调度问题摘要本文针对我国汽车租赁与调度的问题进行分析和研究,主要采用线性规划优化问题来建立数学模型,合理运用lingo,matlab软件编程计算出最终结果。根据附件提供的数据利用MATLAB计算各个代理点之间欧式距离、调度费用等数据,根据四个问题的题意确定合理的目标函数和约束条件,利用LINGO工具求解线性规划方程,从而实现汽车租赁的最优化调度,得到各个问题的全局最优解。针对问题一,我们假设每天调度的车辆不再返回原代理点,利用MATLAB计算各代理点之间的转运费用,以尽量满足需求作为约束条件,建立总转运费用最低的数学模型,基于附件一和附件三所给的数据,我们通过matlab软件分析得到各个可供租赁的汽车代理点的位置分布图,如图1。并且可以通过对附件1中数据的分析确定各个代理点之间的基本转进转出关系,其次,对汽车租赁公司各个代理点之间调配进行分析,并且建立模型,利用LINGO软件求最优解,得到未来四周的最优调度方案。针对问题二,在问题一的基础上,从转运费用和短缺损失两个方面进行考虑,建立目标函数。然后使二者之和最低,进一步求出目标函数的最小值。同时,为了防止转运周折产生多余费用,只进行汽车的单向转入与转出,运用累加法算出相对最小转运费。最后找到相对费用与短缺损失的最小值,从而得到满足调度的最优方案。针对问题三,综合考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等因素,在需求量大于拥有量时,对i代理点进行分析,利用规划模型求出i代理点转给j代理点一辆车所获得的利润。再以此类推,分别求出转移一辆车至其余代理点所获得的利润。最后取i代理点转给所有的转入代理点多获得的利润的最大值,即得到使公司获得利益最大化的调度方案。针对问题四,从长远考虑,通过分析总的短缺损失、采购一辆新车运营8年的预计收益以及运营8年期间的维修保险费,判断是否购买新车。其次通过比较10款汽车的成本以及8年期间的维修保险费用,确定如果需要购车,选择费用最低的第8款汽车。关键字:汽车租赁调度,目标函数,约束条件,LINGO,MATLAB。武汉轻工大学数学建模论文2015-2-一、问题重述某家汽车租赁公司年初在全市范围内有379辆可供租赁的汽车,分布于20个代理点中。每个代理点的位置都以地理坐标X和Y的形式给出。假定两个代理点之间的距离约为他们之间欧氏距离的1.2倍。现在需要根据附件所提供的数据解决以下问题:1.给出未来四周内每天的汽车调度方案,尽量满足需求的前提下,使总的转运费用最低;2.因汽车数量不足会带来的经济损失,给出使未来四周总的转运费用及短缺损失最低的汽车调度方案;3.综合考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等因素,确定未来四周的汽车调度方案;4.为了使年度总获利最大,从长期考虑是否需要购买新车?如果购买的话,确定购买计划(考虑到购买数量与价格优惠幅度之间的关系,在此假设如果购买新车,只购买一款车型)。二、问题的分析根据题目分析可知,在本问题中,实际是在满足需求的前提下得到未来四周内的最优解。根据附件3未来四周每个代理点每天的汽车需求量,要先求得年初各代理点的车辆到第一天最优调度方案,以后每天的调度最优方案都以前一天求得的最优调度结果为基准。首先对20个代理点从A,B..T进行依次编序号为1,2..20,用字母i和j表示。又运费跟第i个代理点到第j个代理点距离成正比,设置0-1决策变量来决定第i个代理点是否运到第j个代理点,若是则设置为1,否则为0。用Matlab求得20个代理点间路径距离20*20矩阵A,根据题目给出的每千米运转费用表格求得每千米运转费用20*20矩阵B,则通过Matlab求得矩阵C=A.*B,矩阵C表示各代理间的运转成本。不妨设第i代理点可以向其20个代理点运出汽车为,i,j从1取到20。设置0-1决策变量来决定第i个代理点是否运到第j个代理点,若是则设置为1,否则为0。对于问题一,基于附件一和附件三所给的数据,首先,我们通过matlab软件分析得到各个可供租赁的汽车代理点的位置分布图,如图1。并且可以通过对附件1中数据的分析确定各个代理点之间的基本转进转出关系,其次,对汽车租赁公司各个代理点之间调配进行分析,并且建立模型,利用lingo求解,得到第二天各个代理点之间的调配方案。再根据模型所得结果,进行迭代处理,分别求出未来四周内每天的调配方案。最后计算两个代理点之间的欧氏距离,通过lingo求得转运费用最低的方案。对于问题二,该问题考虑短缺损失,意味着满足不了车辆需求带来的损失,因而目标函数中除了调度费用最小,还要加上短缺损失最低。由于问题二也是在尽量满足需求的条件下求得最佳调度方案,因此与问题一的约束条件相同。对于问题三,该问题考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等多个因素,确武汉轻工大学数学建模论文2015-3-定未来四周的调度方案,因而目标函数是求获取的毛收益减去转运费用,再减去短缺损失后求最大值。在尽量满足需求的条件下,约束条件与问题一相同。对于问题四,该问题比较复杂,根据附件2中上一年各个代理点每天车辆需求总数,计算有多少天的需求量超过了379辆而会带来短缺损失,通过分析总的短缺损失、采购一辆新车运营8年带来的收益以及采购新车运营8年带来的预计收益来判断是否需要购买新车。若需要购买,根据附件4中的数据还需判断购买哪一款车带来的总获利最大。三、模型的假设1.假设每天调整每辆车都需要相同的费用,根据调整车辆数量不同,所需要费用不同。2.假设每辆车当日租能够当日还,且无损坏,每天都可运营。3.假设在约定条件下,每个代理点都有机会向20个代理点运转汽车,数量不定。4.假设今年和去年营业状况相似,市场需求不会出现较大的波动。5.假设在需求量大于公司车辆数目时,代理点可向其他代理点调度。6.路线在车辆离开代理点前已经制定好。7.每天租出的车辆只归还于租出代理点。8.附件5中P,Q,R,S,T共五个代理点的租赁收入没有数据,在此假设这五个代理点的租赁收入均为前15个数据的平均值。四、符号说明符号符号说明(,)Xij表示第i代理点是否运至第j代理点决策变量(,)naij表示第n天第i代理点运至第j代理点汽车数目(,)nbij表示第n天第i代理点运至第j代理点汽车实际数目(,)osij各个代理点之间的欧式距离(,)sjij两代理点之间的实际距离(,)myzij每趟在各个代理点之间的运转成本武汉轻工大学数学建模论文2015-4-nZ第n天总运转费用(,)din第n天第i代理点需求或供给汽车数目矩阵A2820矩阵的数据代号nallZ28天的总转运费ndqZ表示第n天的经济总缺损fyallZ表示问题二中28天的总费用ndqZ表示第n天由于汽车数量不足带来的经济损失(,)demandjn表示第n天第j代理点需要接收其他代理点调度的车辆数()perlossj第j代理点因车短缺的损失费(万元/天·辆)()perprofitj第j代理点每天每辆车的获利收益()groprofitn第n天租赁公司的预计毛收益njsyZ租赁公司未来四周第n天的预计净收益jsyZ租赁公司未来四周的预计总净收益S表示公司的总共盈利x表示购进的汽车数量,y表示需求量小于拥有车辆时闲置的汽车数量五、模型的准备和建立5.1问题一模型准备根据附件1提供的各代理点的位置坐标,运用matlab画图得到20个代理点之间的位置关系,如图所示:武汉轻工大学数学建模论文2015-5-图1:各个代理点的位置坐标根据附件1运用Matlab可求得各个代理点之间的欧式距离,根据题意,两代理点之间的实际距离约为它们之间欧式距离(即直线距离的1.2倍),即为:其中实际距离矩阵。通过matlab计算出结果储存在excel中,并调用至如下表格:表一:任意两个代理点之间的实际距离根据附件6可得到不同代理点之间的运转费用,通过Matlab求得矩阵相乘运算可得到每趟在各个代理点之间的运转成本。其中:武汉轻工大学数学建模论文2015-6-则通过Matlab计算结果得到的运转费用矩阵如下表格:表二:任意两个代理点之间的运转费用设第n天总运转费用为,第n天每趟从第代理点运到第代理点汽车数量为。根据假设三,与此同时,满足如下约定:1.当第代理点拥有量大于需求量时,。2.当第代理点拥有量小于需求量时,。3.当第代理点拥有量等于需求量时,。同时设0-1决策变量表示第代理点是否运汽车至第代理点,若,则否;若,则是。根据问题中附件3,:未来四周每个代理点每天的汽车需求量表格,表三:未来四周每个代理点每天的汽车需求量通过Matlab软件求得第n天的汽车需求量和第n+1天的汽车需求量之差,武汉轻工大学数学建模论文2015-7-(*)若差值为正则表明拥有量大于需求量(*)若差值为负表明拥有量小于需求量然后通过excel数据调用,调出如下差值表格表四:第n天的汽车需求量和第n+1天的汽车需求量之差根据差值表格数据得知第n天第i代理点需求或供给汽车数目矩阵(,)din:(,)dinA,A为2820矩阵的数据,由于数据庞大,姑且用字母A代替。A数据来自附录2中的2820数据。根据以上表格信息,建立如下表格:表五:第2日各个代理点的拥有量、需求量及拥有量与需求量之差代理点需求量拥有量拥有量-需求量11522722218-432219-342718-951524962016-4715150812175919223101615-1112718-9122420-4133016-1414131851517181武汉轻工大学数学建模论文2015-8-162415-9171621518132071912186202810-18根据表四可知:1、5、7、8、9、14、15、17、18、19为转出代理点,2、3、4、6、10、11、12、13、16、20为转入代理点。5.1.1问题一目标函数的建立:问题一的目的是在尽量满足需求的前提下,使28天的总转运费用最低,即:最小。数学表达式即:要使得最小,需要使每天的转运费用最少,即第n天的总运转费用最小:5.1.1问题一约束条件的建立:根据问题一模型准备,第天第代理点运到第代理点汽车总数量设为201,inbij,其中:(,)(,)(,)nnbijaijXij。则有:201(,)(,)njbijdin。又因为每天20个代理点的总拥有量和总需求量并不相等,其中第一天拥有量为379辆,其需求量为388辆。所以201(,1)9idi根据以上两点初步可知第一天的目标函数及约束条件,如下:202011min((,)(,))ijXijmyzij11(,)(,)(,)bijaijXij.st(,)0,1Xij,1,2...20ij2011(,)(,1)jbijdi武汉轻工大学数学建模论文2015-9-201(,1)9idi通过lingo程序求得:1111111111(1,2)1,(1,2)4;(1,11)1,(1,11)3;(5,3)1,(5,3)3;(5,10)1,(5,10)1;(5,13)1,(5,13)5;(7,4)1,(7,4)3;(8,4)1,(8,4)1;(8,20)1,(8,20)4;(9,11)1,(9,11)3;(14,13)1,(14,13XbXbXbXbXbXbXbXbXbXb1111)5;(15,4)1,(15,4)5;(18,6)1,(18,6)3;(18,16)1,(18,16)7;(19,13)1,(19,13)3XbXbXbXb则第一天调整方案为:A向B调4辆,A向K调3辆,E向C调3辆,E向J调1辆,E向M调5辆,G向D调4辆,H向D调1辆,H向T调4辆,I向K调辆,N向M调5辆,O向D调1辆,Q向T调5辆,R向F调3辆,R向P调7辆,S向M调6辆。经LINGO计算,在尽量满足需求的前提下,采用最佳的调度方案,第一天的转运费用最低为1.6824万元。以此类推,第二天至第28天的调整模型和上面模型如出一辙,通过lingo求得最优解。由于结果
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