高中数学专题训练资料

导导数数知知识识点点考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数的导数公式（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．知知识识要要点点)(xfy1.导数的几何意义：函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy在点))(,(0xfx处的切线的斜率，也就是说，曲线)(xfy在点P))(,(0xfx处的切线的斜率是)(0'xf，切线方程为).)((0'0xxxfyy2．导数的四则运算法则：''')(vuvu)(...)()()(...)()(''2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn''''''')()(cvcvvccvuvvuuv（c为常数）导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则)0(2'''vvuvvuvu3.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数)(xfy在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.4.极值的判别方法：（极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极大值，极小值同理）当函数)(xf在点0x处连续时，①如果在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极大值；②如果在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是极小值.也就是说0x是极值点的充分条件是0x点两侧导数异号，而不是)('xf=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点0x是可导函数)(xf的极值点，则)('xf=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(xxfy，0x使)('xf=0，但0x不是极值点.②例如：函数||)(xxfy，在点0x处不可导，但点0x是函数的极小值点.5.极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.6.几种常见的函数导数：I.0'C（C为常数）xxcos)(sin'1')(nnnxx（Rn）xxsin)(cos'II.xx1)(ln'exxaalog1)(log'-22xyO1-1-11xxee')(aaaxxln)('1、(广东卷)函数32()31fxxx是减函数的区间为()（Ａ）(2,)（Ｂ）(,2)（Ｃ）(,0)（Ｄ）(0,2)2.（全国卷Ⅰ）函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（）（A）2（B）3（C）4（D）53.（湖北卷）在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．04．(江西)已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中'()fx是函数()fx的导函数)，下面四个图象中()yfx的图象大致是(C）5.(浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()(A)18(B)41(C)21(D)16.(重庆卷)曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为______8/3____。7.（江苏卷）（14）曲线31yxx在点（1,3）处的切线方程是41yx8.(全国卷III)曲线32yxx在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0O-22xy1-1-212Oxy-2-221-112O-24xy1-1-212O-22xy-124ABCD9.（北京卷）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为(1,e)；，切线的斜率为e．高中数学专题训练—二次函数与幂函数一、选择题1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x＝a≤1，故“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析若a0，A不符合条件，若a0，D不符合条件，若b0，对B，∴对称轴－ba0，不符合，∴选C.3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件()A．α－1B．－1α0C．0α1D．α1答案C解析类比函数y＝x12即可．4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么()A．f(2)f(3)B．f(3)f(2)C．f(3)＝f(2)D．f(3)与f(2)的大小关系不确定答案C解析∵f(4)＝f(1)∴对称轴为52，∴f(2)＝f(3)．5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．[1,2]D．(－∞，2]答案C解析由函数的单调性和对称轴知，1≤m≤2，选C.6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()答案D解析若a＞0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－b2a＞0，函数f(x)的图象与y轴的交点(c,0)在x轴下方．故选D.7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0a3)，若x1x2，x1＋x2＝1－a，则()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案B解析解法1：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，∵x1＋x22＝1－a2∈(－1，12)，又对称轴x＝－1，∴AB中点在对称轴右侧．∴f(x1)f(x2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f(x1)－f(x2)＝(ax21＋2ax1＋4)－(ax22＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(3－a)又0a3，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故选B.二、填空题8．已知y＝(cosx－a)2－1，当cosx＝－1时y取最大值，当cosx＝a时，y取最小值，则a的范围是________．解析由题意知－a≤0－1≤a≤1∴0≤a≤19．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.答案9或25解析y＝8x－m－1162＋m－7－8·m－1162∵顶点在x轴∴m－7－8·m－1162＝0，∴m＝9或25.10．(2010·衡水调研)设函数f1(x)＝x12，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝________.答案12010解析f3(2010)＝20102f2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案大－3解析∵f(0)＝c＝－4，a，b，c成等比，∴b2＝a·c，∴a0∴f(x)有最大值，最大值为c－b24a＝－3.12．已知幂函数f(x)＝x1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.答案313．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α0,1β2，则实数m的取值范围是________．答案2m52解析令f(x)＝x2－mx＋1由题意知f10f20⇒2m52.三、解答题14．已知函数f(x)＝2x－xm，且f(4)＝－72.(1)求m的值；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．答案(1)m＝1(2)递减解析(1)∵f(4)＝－72，∴24－4m＝－72.∴m＝1.(2)f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(2x1－x1)－(2x2－x2)＝(x2－x1)(2x1x2＋1)．∵0x1x2，∴x2－x10，2x1x2＋10.∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，即f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减．15．(2011·山东省实验中学)已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．答案[－94，9]解由条件知Δ≤0，即(－4a)2－4(2a＋12)≤0，∴－32≤a≤2.①当－32≤a1时，g(a)＝(a＋1)(－a＋3)＝－a2＋2a＋3＝－(a－1)2＋4，∴由二次函数图象可知，－94≤g(a)4.②当1≤a≤2时，g(a)＝(a＋1)2，∴当a＝1时，g(a)min＝4；当a＝2时，g(a)max＝9；∴4≤g(a)≤9.综上所述，g(a)的值域为[－94，9]．1．若函数f(x)＝log12(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(3，＋∞)C．(－∞，3)D．[5，＋∞)答案D解析f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a≥5，故选D.2．设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为()A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52答案B解析∵b0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a0，∴a0.故应是第3个图形．∵过原点，∴a2－1＝0.结合a0.∴a＝－1.3.如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于()A.caB．－caC．±caD．无法确定答案B解析∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|ca|＝－ca(∵a0，c0)．4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝()A．3B．2或3C．2D．1或2答案C解析函数在[1，＋∞)上单增∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．5．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是()A．0≤a≤1B．0≤a≤2C．－2≤a≤0D．－1≤a≤0答案D解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2若f(x)在[0,1]上最大值是a2，则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝________.答案x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是()A．减函数B．增函数C．常函数D．可能是减函数，也可能是常函数答案D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(ab)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(αβ)，则实数a、b