利用施密特正交化方法

《线性代数》课题组知识点7--用正交矩阵使对称矩阵对角化用正交矩阵使实对称矩阵对角化的步骤2.施密特正交化方法1.《线性代数》课题组一、施密特正交化方法设是线性无关向量组，如何将该向量组12r,,,单位正交化？1）正交化令112122111,,121121112211rrrrrrrr,,,,,,r则两两正交，且与12r,,,等价.12r,,,《线性代数》课题组上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.2）单位化11212111rrr2,,,,令则可得到与12,,,r等价的单位正交组12,,,.r这个过程称为单位正交化过程，上述两个步骤次序不可交换.《线性代数》课题组例1已知向量组TTT1231011,1101,1110线性无关，试将其化为标准正交组.解第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化取T111011T2122111(,)11321(,)3T313233121122(,)(,)11334(,)(,)5《线性代数》课题组所得的123,,即是与123,,等价的正交向量组.第二步，再单位化由于12315353,,35，所以令T111110113T2221132115T3331133435则123,,为所求单位正交组.1101121312313131354《线性代数》课题组二、用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤（1）求出特征方程0EA的全部实特征值；（2）对每一个in重的特征值i，解齐次线性方程组()i0EAx，得到in个线性无关的特征向量；（3）利用施密特正交化方法，把属于i的in个线性无关的特征向量正交化，再单位化；《线性代数》课题组Q阵的列向量，则Q为所求正交矩阵；（5）1QAQ为对角矩阵，其主对角线上的元素为A的全部特征值，它的排列顺序与Q中正交单位向量的排列顺序相对应.（4）将总共得到的n个单位正交特征向量作为矩《线性代数》课题组例2用正交矩阵将对角化.解矩阵A的特征值为1231,4对应的特征向量为12111,0,013111211121112A如何求A的特征值与特征向量《线性代数》课题组利用施密特正交化方法将1与2正交化，得1111,02122111111(,)11011(,)221021231111,0,1011再将单位化123,,的模各是多少？123,,《线性代数》课题组再单位化，得121212116211,,26026将3单位化，得333131313《线性代数》课题组以单位正交向量123,,为列得正交矩阵11163211126321063Q使得1114QAQ特征值与特征向量应对应对角阵《线性代数》课题组小结施密特正交化方法用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤求特征值求特征向量正交化、单位化构造正交阵Q构造对角阵