3.6圆内接四边形

3.6圆内接四边形复习回顾：什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？什么是圆的内接四角形？什么是四边形的外接圆？定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.思考:（1）任意三角形都有外接圆吗？（2）任意四边形都有外接圆吗?OCABDOCABDOCABD注：一个三角形一定有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆OABCD1OABDC4OABDC3OABDC225,,?观察图这组图中的四边形都内接于圆你能从中发现这些四边形的共同探特征吗究任意画一个圆，在圆上依次取四个点A、B、C、D，连接AB、BC、CD、DA，用量角器量出一组对角的度数之和，你发现了什么？OABCD.21,21,,DBOCOA则、连接如图1360,360180.2BD因为所以证法一已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠DAB+∠DCB=180°，∠B+∠D=180°同理可得：∠DAB+∠DCB=180°已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°ＯＣＢＡＤ证法二几何语言∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C=180°∠B+∠D=180°ＯＣＢＡＤ圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形对角互补1、已知圆内接四边形有一个内角是500，求它的对角的度数2、若⊙O内接四边形ABCD中满足∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD是怎样的特殊的四边形？做一做若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1B补充练习：例题讲解例1如图,ΔABC的外角平分线AD交外接圆于D,求证:DB=DC.解：∵AD是∠EAC的平分线∴∠DAC=∠DAE四边形ABCD内接于⊙O∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）又∵∠BAD+∠DAE=180°∴∠BCD=∠DAE(?)而∠DBC=∠DAC(?)∠DAC=∠DAE∴∠DBC=∠DCB∴DB=DCABCDOE1、如图，AB为⊙O的直径，已知∠BAC=40°,求∠D的大小2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:7,则∠A=∠B=∠C=∠D=。40º60º140º120º3、任意画一个矩形，再画出它的外接圆设∠A=2x,则∠C=7x.∵∠A+∠C=180º,∴x=20º.作业题例2如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？∵直径AC=BD=30cm∴AO=BO=15cm∴S正方形ABCD=15×15×1/2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）答:沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材，若原木长为15m,其体积为0.675m3.解：如图，设圆木的截面为圆O，要使锯出的木材的横截面正方形ABCD尽可能大，正方形ABCD应内接于圆O.正方形ABCD的各个内角都是直角，得它的两条对角线是圆O的直径，且这两条对角线互相垂直。所以只要在圆O内作互相垂直的直径AC和BD,就可以作出面积最大的正方形ABCD.2、已知:如图以等腰三角形ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB、AC于点D、E，连结DE，求证：DE∥BC。1、已知:四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，∠D-∠B＝40°求∠B、∠C、∠D的度数作业题ABCODE5、圆内接四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的度数之比为1:2:3:4，求四边形ABCD各内角的度数3、圆内接四边形ABCD中,ADC与ABC的比为3:2，求∠B、∠D的度数。4、已知四边形ABCD,∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为3:1:2:5，判断这个四边形是不是圆内接四边形？并说明理由。⌒⌒⌒⌒⌒⌒6、求证：圆内接平行四边形是矩形。OCDBA已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形并且ABCD是平行四边形。求证：四边形ABCD是矩形。补充已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，∠A＝100°，点E在BC的延长线上，求∠DCE的度数。ＯＣＢＡＤE圆内接四边形的性质：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内角的对角．1.如图,⊙O1,⊙O2交于点M,N,直线AB过M,与⊙O1,⊙O2分别交于点A,B,直线CD过点N,与⊙O1,⊙O2分别交于点C,D,求证:AC//BD.1O2OAMBCND分析:两圆相交的问题,公共弦是沟通两圆的桥梁.1.180,1801,1BABA拓展小结1、定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.2、圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形对角互补