3[1].5.1对数函数的概念

对数函数的概念.0,1,,0,logloglogNbababNNaab1loglogbaab1logloglogacacbbbmnbanamloglog复习回顾换底公式常用结论在细胞分裂的问题中，细胞分裂个数y和分裂次数x的函数关系,用正整数指数函数y=2x表示.在学习过程中我们已经反它推广到实数指数函数.分裂?次细胞个数1万10万在y=2x中知y求xx=log2y一般的指数函数y=ax(a0,a≠1)中的两个变量,能不能把y当作自变量,使得x是y的函数?对于任意y∈(0,+∞)有唯一x∈R满足y=ax把y当作自变量,x是y的函数x=logay(a0,a≠1)x1x2y2y1xyy=ax(a1)x1≠x2y1≠y2y=ax(a0,a≠1),对于x每一个确定值,y都有唯一确定的值和它对应.R{y|y0}一一对应R{y|y0}x=logay对数函数y0a0,a≠1把函数y=logax(a0,a≠1)叫作对数函数a为对数函数的底数10为底的对数函数y=lgx为常用对数函数以无理数e为底的对数函数y=lnx为自然对数函数【误区警示】本题易误认为y＝logx2也是对数函数，错因在于对对数函数的概念理解不透彻；形如y＝logax(a0，a≠1，x0)的函数，才是对数函数，其中x在真数上，是自变量，a在底数上，是常数．【思路点拨】根据对数函数的定义进行判断．例1.指出下列函数中哪些是对数函数：(1)y＝4x；(2)y＝logx2；(3)y＝－log3x；(4)y＝log0.4x；(5)y＝log(2a－1)x(a12且a≠1；(6)y＝log2(x＋1)．指数函数y=ax与对数函数x=logay(a0,a≠1)有什么关系?函数自变量因变量定义域值域y=axxyR(0,+∞)x=logayyx(0,+∞)R称这两个函数互为反函数对应关系互逆指数函数y=ax是对数函数x=logay(a0,a≠1)的反函数指数函数y=ax(a0,a≠1)对数函数y=logax(a0,a≠1)反函数互为反函数,定义域和值域互换,对应法则互逆图像关于直线y=x对称例2写出下列对数函数的反函数:(1)y=lgx;.log231xy(3)y=5x.324xy【点评】解题时，求出反函数的解析式后，容易忽视标明定义域，这一点一定要注意，通过求出原来函数的值域来标明反函数的定义域．提示：(1)只有一一映射确定的函数才有反函数．(2)求反函数的步骤可概括为一解、二换、三写．(3)互为反函数的两个函数，它们的图像关于直线y＝x对称．(4)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换．(5)互为反函数的两函数单调性一致．(6)奇函数的反函数仍是奇函数，偶函数无反函数．如何理解反函数？对数函数的定义域求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对对数函数自身有如下要求：一是要注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.例3.求下列函数的定义域：(1)y＝loga(9－x)(a0，a≠1)；(2)y＝log(x－1)(3－x)．【思路点拨】列出不等式组→解不等式→写出定义域解：(1)由lgx＋1－3≠0x＋10，得x＋1≠103x－1，∴x－1且x≠999.∴函数的定义域为{x|x－1且x≠999}．(2)由x0x≠12－x0，得x0x≠1x2.∴函数的定义域为{x|0x2且x≠1}．自我挑战求下列函数的定义域：(1)y＝1lgx＋1－3；(2)y＝logx(2－x)．常见对数函数的图像作常见函数图像的方法列表描点法列表描点连线成图变换作图法基础函数变换过程，【思路点拨】采用列表描点法作出图像，再讨论它们的性质．例4.在同一坐标系中画出函数y1＝log2x，y2＝log3x及y3＝log13x的图像，并分析这些函数的性质．【解】(1)列表x…1312123…y1＝log2x…－1.58－1011.58…y2＝log3x…－1－0.6300.631…y3＝log13x…10.630－0.63－1…(2)描点(3)连线成图．(4)性质：①定义域(0，＋∞)；②值域R；③y1＝log2x，y2＝log3x在(0，＋∞)上单调递增．y3＝log13x在(0，＋∞)上单调递减．④此三个函数过定点(1,0)；⑤当x1时，y10，y20，y30.当0x1时，y10，y20，y30.小结对数函数的概念反函数定义域和值域互换对应关系互逆y=logax(a0,a≠1,x0)指数函数y=ax(a0,a≠1)与对数函数y=logax(a0,a≠1)互为反函数