正交试验设计原理及实例

正交试验设计在试验研究中，对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。1正交试验设计的意义正交试验属于试验设计方法的一种。简单地讲，试验设计是研究如何科学安排试验，以较少的人力物力消耗而取得较多较全面的信息。试验安排得好，事半功倍；反之则事倍功半，甚至达不到预期目的。因此，如何进行试验设计是一个至关重要的问题。正交试验设计是试验优化的常用技术。所谓试验优化，是指在最优化思想的指导下，进行最优设计的一种优化方法。它从不同的优良性出发，合理设计试验方案，有效控制试验干扰，科学处理试验数据，全面进行优化分析，直接实现优化目标，已成为现代优化技术的一个重要方面。正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。１.１试验为什么要设计全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、试验材料、经费等限制而难于实施。例如，有6个因素：每因素取5个水平，全面试验就需要56=15625个组合。若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。１.２正交拉丁方在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格，如果网上的每个点都做试验，就是全面试验。3个因素的选优区可以用一个立方体表示(图11-2)，3个因素各取3个水平，把立方体划分成27个格点，反映在图11上就是立方体内的27个“.”。若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表11所示。3因素3水平的全面试验水平组合数为33=27，4因素3水平的全面试验水平组合数为34=81，5因素3水平的全面试验水平组合数为35=243，这在试验中是不可能做到的。正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图11-A中标有试验号的九个“(·)”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：关于正交的直观印象•数据点分布是均匀的•每一个面都有3个点•每一条线都有1个点1.3正交试验设计正交试验设计也称正交设计(orthogonaldesign)，是用来科学地设计多因素试验的一种方法。它利用一套规格化的正交表(orthogonaltable)安排试验，得到的试验结果再用数理统计方法进行处理，使之得出科学结论。正交表是试验设计的基本工具，它是根据均衡分布的思想，运用组合数学理论构造的一种数学表格，均衡分布性是正交表的核心。19世纪20年代，英国统计学家R.A.Fisher首先后马铃薯肥料试验当中，运用排列均衡的拉丁方，解决了试验时的不均匀试验条件，获得成功，并创立了“试验设计”这一新兴学科。“均衡分布”思想在20世纪50年代应用于工业领域，60年代应用于农业领域，使正交试验在科研生产实际中得到推广。2、正交表２.１正交表－正交拉丁方的自然推广由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。安排的4因素3水平的试验，编上试验号，列成另外一种形式，见正交表L9(34)（表11-6）。可以由此得到系列正交表(orthogonaltable)。常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正交设计时选用。2水平正交表除L8(27)外，还有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)……等（详见附表17及有关参考书）。表11-6是一张正交表，记号为L9(34)，其中“L”代表正交表；L右下角的数字“9”表示有9行，用这张正交表安排试验包含3个处理(水平组合)；括号内的底数“3”表示因素的水平数，括号内3的指数“4”表示有4列，也指安排的因素数，用这张正交表最多可以安排4个3水平因素。2.2正交表的表示符号①正交表记号所表示的含义归纳如下：Ln(tq）式中：L为正交表符号，是Latin的第一个字母；n为试验次数，即正交表行数；t为因素的水平数，即1列中出现不同数字的个数;q为最多能安排的因素数，即正交表的列数。正交表表示方法L9（34）正交表列数一列中出现的数字个数正交表行数正交表的代号②正交表中1列可以安排1个因素，因此它可安排的因素数可以小于或等于q，但不能大于q。③括号内的tq表示q个因素、每个因素t个水平全面试验的水平组合数（即处理数）。因为安排因素个数不能大于q，所以n/tq为最小部分实施。显然，L4(23)是最简单的正交表，有4列3行用它最多能安排3个2水平因素的试验。部分试验为4次，全面试验为8次，最小部分实施为1/2，即用它安排试验可比全面试验少做1/2。所以，当试验因素数q及每个因素的水平数t增加时n/tq则下降，节省试验次数的效果更明显。④一般非等水平正交表表示为Ln(t1q1Xt2q2）（q1不等于q2）Ln(tlq1Xt2q2Xt3q3）（q1q2q３），它们各代表一个具体的数字表格。又称混合型正交表。当用非等水平正交表示为Ln(t1q1Xt2q2)安排试验时。则因素数应不大于q1+q2,且t1水平的因素数不大于q1，t2水平的因素数不大于q2，最小部分实施为n/(t1q1+t2q2）。2.3常用正交表的分类及特点1、标准表（相同水平正交表）2水平:L4(23）,L8(27）,L16(215），…3水平:L9(34），L27（313），L81(340），…4水平：L16(45）,L64(421）,L256(485），…5水平：L25（56）,L125(531）,L625(5156），…各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表。凡是标准表，水平数都相等。且水平数只能取素数或素数幂。因此有7水平，9水平的标准表，没有6水平，8水平的标准表。2.3常用正交表的分类及特点2、非标准表（混合水平正交表）各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。如L8(4×24)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。也就是说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因素。再如L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表。2.4正交表的基本性质任何一张正交表都有如下三个特性：（１）正交性1、任一列中，不同数字出现的次数相等例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等例如L8(27)中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现两次；L9(34)中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。由正交表的正交性可以看出：①正交表各列的地位是平等的，表中各列之间可以互相置换，称为列间置换；②正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；③正交表中同一列的水平数字也可以相互置换，称水平置换。上述3种置换即正交表的3种初等置换。经过初等置换所能得到的一切正交表，称为原正交表的同构表或等价表，显然，实际应用时，可以根据不同需要进行变换。(2)代表性。代表性的含义之一，在于正交表的正交性中：①任一列的各水平都出现，使得部分试验中包含所有因素的所有水平。②任意2列间的所有组合全部出现，使任意两因素间都是全面试验。因此，在部分试验中，所有因素的所有水平信息及两两因素间的所有组合信息都无一遗漏。这样，虽然安排的是部分试验，却能够了解全面试验的情况，从这个意义上讲可以代表全面试验。因为正交性，使部分试验点必然均衡地分布后全面试验的试验点中。所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。由图11-2可以看出，在立方体中，任一平面内都包含3个“(·)”，任一直线上都包含1个“(·)”，因此，这些点代表性强，能够较好地反映全面试验的情况。（3）综合可比性。反映在正交性当中：①任一列各水平出现的次数都相等。②任2列间所有可能的组合出现的次数都相等。因此使任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各个水平的效果中，最大限度地排除其他因素的干扰，突出本列因素的作用，从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。如在A、B、C3个因素中，A因素的3个水平A1、A2、A3条件下各有B、C的3个不同水平，即：在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有可比性。根据以上两个特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。正交表的3个基本性质中，正交性即均衡性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果，从而使正交表得以具体应用。正交表集其3个性质于一体，成为正交试验设计的有效工具，用它来安排试验，也必然具有“均衡分散，整齐可比”的特性，代表性强，效率也高。因而，实际应用越来越广。交互作用的处理。在试验设计中，交互作一律当做因素看待，这是处理交互作用的一条总原则。3正交试验设计的基本步骤正交试验设计（简称正交设计）的基本程序是设计试验方案和处理试验结果两大部分。主要步骤可归纳如下：第一步，明确试验目的，确定考核指标。第二步，挑因素，选水平。第三步，选择合适的正交表。第四步，进行表头设计。第五步，确定试验方案。第六步，试验结果分析。3.1明确试验目的，确定考核指标试验目的，就是通过正交试验要想解决什么问题。考核指标，就是用来衡量或考核试验效果的质量指标。试验指标一经确定，就应当把衡量和评定指标的原则、标准，测定试验指标的方法及所用的仪器等确定下来。这本身就是一项细致而复杂的研究工作。3.2挑因素，选水平影响指标者称为因素。因素在试验中变化的各种状态，称为水平。因素的变化引起指标的变化，正交试验法适用于试验中能人为加以控制和调节的因素—可控因素。选好的因素、水平通常可列成因素水平表。3.3选择合适的正交表总原则：能容纳所有考察因素，又使试验号最小。一般有这样几条规则：(1)先看水平数。根据水平数选用相应的水平的正交表。(2)其次看试验要求。如只考察主效应，则可选择较小的表，只要所有因素均能顺序上列即可。如果还需考察交互效应，那么就要选用较大的表，而且各因素的排列不能任意上列，要按照各种能考察交互作用的表头设计来安排因素。3.3选择合适的正交表(3)再看允许做试验的正交表的次数和有无重点因素要考察。如果只允许做9次试验，而考察因素只有3-4个，则用3水平的L9(34）表来安排试验。若有重点因素要详细考察则可选用水平数不等的正交表如L8(4X24）等，将重点因素多取几个水平加以详细考察。①要求精度高，可选较大的n值的L表。②切不可遗漏重要因素，所以可倾向于多考察些因素。③可以先用水平数少的正交表作试验，找出重要因素后，对少数重要因素再作有交互作用的细致考察。3.4进行表头设计所谓表头设计，就是将试验因素安排到所选正交表的各列中去的过程。(1)只考察主效应，不考察交互效应，正交表中每一列的位置是一样的，可以任意变换。因此，不考察交互效应的表头设计非常简单，将所有因素任意上列即可。(2)考察交互作用的表头设计，各因素及各交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行配列。这是有交互作用正交设计的重要特点，也是试验方案设计的关键一步。3.4进行表头设计避免混杂，是表头设计的一个重要原则，也是表头设计选优的一个重要条件。所谓混杂，是指在正交表的同一列