数学选修2-1测试题(含答案)

数学选修2-1综合测评时间：90分钟满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是()A.13，1，1B．(－1，－3,2)C.－12，32，－1D．(2，－3，－22)解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b≠0，a∥b⇔a＝λb，a＝(1，－3,2)＝－1－12，32，－1，故选C.答案：C2．若命题p：∀x∈－π2，π2，tanxsinx，则命题綈p：()A．∃x0∈－π2，π2，tanx0≥sinx0B．∃x0∈－π2，π2，tanx0sinx0C．∃x0∈－π2，π2，tanx0≤sinx0D．∃x0∈－∞，－π2∪π2，＋∞，tanx0sinx0解析：∀x的否定为∃x0，的否定为≤，所以命题綈p为∃x0∈－π2，π2，tanx0≤sinx0.答案：C3．设α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是()A．l⊂α，m⊂β且l∥β，m∥αB．l⊂α，m⊂β且l∥mC．l⊥α，m⊥β且l∥mD．l∥α，m∥β且l∥m解析：由l⊥α，l∥m得m⊥α，因为m⊥β，所以α∥β，故C选项正确．答案：C4．以双曲线x24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.x216＋y212＝1B.x212＋y216＝1C.x216＋y24＝1D.x24＋y216＝1解析：由x24－y212＝1，得y212－x24＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．∴椭圆方程为x24＋y216＝1.答案：D5．已知菱形ABCD边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离为()A.32B.12C.32D.34解析：菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，则AC′⊥BD，沿AC折叠后，有BO⊥AC′，DO⊥AC，所以∠BOD为二面角B－AC－D的平面角，即∠BOD＝60°.因为OB＝OD＝12，所以BD＝12.答案：B6．若双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝()A.3B．2C．3D．6解析：双曲线x26－y23＝1的渐近线方程为y＝±22x，因为双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，故圆心(3,0)到直线y＝±22x的距离等于圆的半径r，则r＝|2×3±2×0|2＋4＝3.答案：A7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.83B.38C.43D.34解析：取DA→，DC→，DD1→分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2,1)．故A1到平面AB1D1的距离为d＝|AA1→·n||n|＝43.答案：C8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为()A.2B．22C．4D．8解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4,23)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.答案：C9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是()A.π2B.απ6≤α≤π2C.απ4≤α≤π2D.απ3≤α≤π2解析：取C1D1的中点E，PM必在平面ADEM内，易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．答案：A10．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的一点，若PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为()A.12B.23C.13D.53解析：由PF1→·PF2→＝0，得△PF1F2为直角三角形，由tan∠PF1F2＝12，设|PF2|＝s，则|PF1|＝2s，又|PF2|2＋|PF1|2＝4c2(c＝a2－b2)，即4c2＝5s2，c＝52s，而|PF2|＋|PF1|＝2a＝3s，∴a＝3s2，∴e＝ca＝53，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：原命题的否定形式为∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0，为真命题．即2x2－3ax＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，解得－22≤a≤22.答案：[－22，22]12．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则动点P的轨迹方程是__________．解析：由OP→·OA→＝4得x·1＋y·2＝4，因此所求动点P的轨迹方程为x＋2y－4＝0.答案：x＋2y－4＝013．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为__________．解析：因为AB→·PC→＝AB→·(PA→＋AC→)＝AB→·PA→＋AB→·AC→＝1×2×cos45°＝1，又|AB→|＝1，|PC→|＝6，∴cos〈AB→，PC→〉＝AB→·PC→|AB→||PC→|＝11×6＝66.答案：6614．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为__________．解析：由题意，如图，在Rt△AOF中，∠AFO＝30°，AO＝a，OF＝c，∴sin30°＝OAOF＝ac＝12.∴e＝ca＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知命题p：不等式|x－1|m－1的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．解：由于不等式|x－1|m－1的解集为R，所以m－10，m1；因为f(x)＝－(5－2m)x是减函数，所以5－2m1，m2.即命题p：m1，命题q：m2.因为p或q为真，p且q为假，所以p和q中一真一假．当p真q假时应有m1，m≥2，m无解．当p假q真时应有m≥1，m2，1≤m2.故实数m的取值范围是1≤m2.16．(12分)已知椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的离心率为22，且a2＝2b.(1)求椭圆的方程；(2)直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得ca＝22，a2＝2b，解得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝1，故椭圆的方程为x2＋y22＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．联立直线与椭圆的方程得x2＋y22＝1，x－y＋m＝0，即3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)0，m23，所以x0＝x1＋x22＝－m3，y0＝x0＋m＝2m3，即M－m3，2m3.又因为M点在圆x2＋y2＝5上，所以－m32＋2m32＝5，解得m＝±3与m23矛盾．∴实数m不存在．17．(13分)已知点P(1,3)，圆C：(x－m)2＋y2＝92过点A1，－322，点F为抛物线y2＝2px(p0)的焦点，直线PF与圆相切．(1)求m的值与抛物线的方程；(2)设点B(2,5)，点Q为抛物线上的一个动点，求BP→·BQ→的取值范围．解：(1)把点A代入圆C的方程，得(1－m)2＋－3222＝92，∴m＝1.圆C：(x－1)2＋y2＝92.当直线PF的斜率不存在时，不合题意．当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF：y＝k(x－1)＋3，即kx－y－k＋3＝0.∵直线PF与圆C相切，∴|k－0－k＋3|k2＋1＝322.解得k＝1或k＝－1.当k＝1时，直线PF与x轴的交点横坐标为－2，不合题意，舍去．当k＝－1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，∴p2＝4.∴抛物线方程为y2＝16x.(2)BP→＝(－1，－2)，设Q(x，y)，BQ→＝(x－2，y－5)，则BP→·BQ→＝－(x－2)＋(－2)(y－5)＝－x－2y＋12＝－y216－2y＋12＝－116(y＋16)2＋28≤28.∴BP→·BQ→的取值范围为(－∞，28]．18．(13分)如图，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.(1)证明：AD⊥CE；(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C－AD－E的余弦值．解：①(1)证明：作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点．以O为坐标原点，射线OC为x轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系O－xyz.设A(0,0，t)．由已知条件知C(1,0,0)，D(1，2，0)，E(－1，2，0)，CE→＝(－2，2，0)，AD→＝(1，2，－t)，所以CE→·AD→＝0，得AD⊥CE.(2)作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，如图②所示．②设F(x,0，z)，则CF→＝(x－1,0，z)，BE→＝(0，2，0)，CF→·BE→＝0，故CF⊥BE.又AB∩BE＝B，所以CF⊥平面ABE，故∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF＝45°.由CE＝6，得CF＝3.又CB＝2，所以∠FBC＝60°，所以△ABC为等边三角形，因此A(0,0，3)．作CG⊥AD，垂足为G，连接GE.在Rt△ACD中，求得|AG|＝23|AD|.故G23，223，33，GC→＝13，－223，－33，GE→＝－53，23，－33.又AD→＝(1，2，－3)，GC→·AD→＝0，GE→·AD→＝0，所以GC→与GE→的夹角等于二面角C－AD－E的平面角．故二面角C－AD－E的余弦值cos〈GC→，GE→〉＝GC→·GE→|GC→||GE→|＝－1010.