北京科技大学考研高等代数2003-2011

北京科技大学2004年硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数（共两页）适用专业：应用数学、计算数学、运筹学与控制工程说明：①所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。②考试用具：不得使用任何电子计算仪器。-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一．（15分）计算行列式：abbbcabbccabccca。二．（15分）设三阶方阵111111111A，试计算nA。三．（20分）证明：（1）若,AB都是n阶方阵，且0AB，则rankArankBn。（rankA表示矩阵A的秩）（2）若n阶方阵A满足条件2AE，则()()rankAErankAEn。四．（15分）已知：在四维向量空间V中11111,,,2222，21115,,,6626，12(,)WL，求W。五．（20分）设1(1,0)T，2(0,1)T是二维向量空间V的一组基，(2,3)T，(4,9)T。是V上的一个线性变换，且1()，2()。（1）写出线性变换在基12,之下的矩阵。（2）求出线性变换的逆变换。（3）求出线性变换的特征值和特征向量。（4）求出线性变换的全部不变子空间。六．（20分）（1）若矩阵A与矩阵B相似，证明：A与B有相同的特征值。（2）举例说明，上述命题的逆命题不成立。（3）若A与B均为对称矩阵，则（1）的逆命题成立。第1页（续上页）七．（15分）求一个三次多项式()fx，使得()1fx能被2(1)x整除，而()1fx能被2(1)x整除。八．（15分）若A是n阶方阵，且对任意的非零向量，都有0TA。证明：存在正定矩阵B及反对称矩阵C，使得ABC，并且对任意向量，都有TTAB，0TC。九．（15分）如果,都是幂等（2，2）的线性变换。证明：（1）如果，则也是幂等变换。（2）如果是幂等变换，则0。第2页北京科技大学2011年硕士学位研究生入学考试试题=============================================================================================================试题编号：825试题名称：高等代数（共2页）适用专业：数学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。=============================================================================================================注意：第一、二大题不必抄题，在答题纸上写清题号即可。一．填空题（本题20分，每小题4分）1．已知A为n阶方阵且3A，则1*2AA。2．设A是3阶可逆矩阵，A的第1行与第2行交换后得到矩阵B，则1AB。3．已知方程组123111111112xaaxax有无穷解，则a。4．设11143335Aa，且A有一特征值6，则a。5．从3R的基123(1,0,1),(1,1,1),(0,1,0)TTT到基1(1,2,1),T2(1,2,1),T3(0,1,2)T的过渡矩阵P。二．选择题（本题20分，每小题4分）1．设5阶矩阵A的秩为3，那么其伴随矩阵A的秩为。（A）0（B）1（C）3（D）52．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是。（A）12αα，23αα，31αα（B）1α，12αα，123ααα（C）12αα，23αα，31αα（D）12αα，132αα，313αα3．设三元非齐次线性方程组A=bx的两个解为(1,0,2),(1,1,3)TTαβ，且系数矩阵A的秩为2，则对于任意常数12,,kkk方程组的通解为。（A）12(1,0,2)(1,1,3)TTkk（B）(1,0,2)(1,1,3)TTk（C）(1,0,2)(2,1,5)TTk（D）(1,0,2)(0,1,1)TTk4．矩阵111111111A的非零特征值为。(A)4(B)3(C)2(D)15．已知4阶行列式D的某一行元素及其余子式都为a，则D等于。（A）0（B）2a（C）-2a（D）4三．（本题15分）计算n阶行列式123111100100100nnaaDaa，(0,1,2)iain。四．（本题15分）设n阶矩阵A的秩为r，证明存在秩为nr的n阶矩阵B，使得ABO。五．（本题15分）证明：实对称的正交矩阵的特征值必为1或1。六．（本题15分）求以三次方程310xx的三个根的平方为根的三次方程。七．（本题15分）设1n阶实方阵nxaaaaxaaAaaxaaaax。（1）求矩阵nA的秩；（2）矩阵nA何时是正定的？八．（本题15分）设12,,,n是n维线性空间V的一组基，向量V可以由这组基中的任意1n个线性表示，证明0。九．（本题20分）设线性空间12sV，证明：存在V的线性变换12,,,s使得（1）2ii，1is；（2）0ij，ij；（3）12sI为恒等变换；（4）ImiiW，1is。北京科技大学2012年硕士学位研究生入学考试试题=============================================================================================================试题编号：825试题名称：高等代数（共2页）适用专业：数学、统计学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效.=============================================================================================================一（15分）、判断5432()35762fxxxxxx有无重因式，若有，请求出()fx的所有重因式并指出其重数.二(20分)、设矩阵111212210,111111AB.（1）计算矩阵TAB以及行列式TTABBA；（2）求矩阵C，使得CAB.三(20分)、研究k取何值时，线性方程组1231232353218522kxxxxxkxkxx（1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解.四(20分)、设二次型222123123121323(,,)55266fxxxxxcxxxxxxx的秩为2.（1）求参数c使得该二次型的秩等于2；（2）写出该二次型的矩阵A；（3）求一个正交矩阵P和一个对角矩阵使得1PAP；（4）求一个非退化线性替换xCy把该二次型化为标准形.五(20分)、设4VR，1123,,VL，212,VL，其中123(1,2,1,3),(1,1,2,1),(1,3,0,5),12(1,0,4,2),(0,5,9,14).求（1）1V的维数与一组基；（2）2V的维数与一组基；（3）12VV的维数与一组基；（4）12VV的维数与一组基.六（15分）、设412946935A.（1）求A的初等因子；（2）求出A的Jordan标准形.七（10分）、设是线性空间V上的线性变换，而V.设1,,,k都不等于零，但0k.证明：1,,,k线性无关.八(15分)、设是线性空间V上的线性变换，满足2320I，其中I是恒等变换.证明的特征值只能是1或2.九(15分)、设A、B都是n阶方阵，证明：如果2AE,则()()rankAErankAEn其中E为n阶单位矩阵,()rank表示矩阵的秩.