北师大版初中数学八年级上册知识讲解-巩固练习题-二次根式(提高)

二次根式—知识讲解（提高）【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：a≥0，（a≥0），（a≥0），（a≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质1.a≥0，（a≥0）；2.（a≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a≥0，b≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即()aaababbb或（a≥0，b0）.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0aaa≥）.（2）2a与2()a要注意区别与联系：①a的取值范围不同，2()a中a≥0，2a中a为任意值。②a≥0时，2()a=2a=a；a0时，2()a无意义，2a=a.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】x≥-且x≠-1【解析】依题意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480xxym，当0y时，m的取值范围是（）A．01mB.m≥2C.2mD.m≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x的取值范围：(1)；(2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】（2018春•铁东区校级月考）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.（2019春•江津区校级月考）我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a的取值范围化简求出答案；（2）利用a，b的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a＞0时=a；②当a＜0时=﹣a；故答案为：a，﹣a；（2）如图所示：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则﹣﹣=﹣a﹣b+（a+b）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4.化简：111...122389【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律.【答案与解析】原式=1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8（）（89)(）=2132...98=91=2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三：【变式】若2323的整数部分是a，小数部分是b，求22aabb的值.【答案】2(23)(23)==2+3=7+43(23)(23)原式（）又因为整数部分是a，小数部分是b则a=13，b=43622221313(436)(436)aabb=3311003二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2019•贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x≤1C．x＞1D．x≥12.使式子有意义的未知数x有()个A．0B．1C．2D．无数3.下列说法正确的是（）A．4是一个无理数B．函数11yx的自变量x的取值范围是x≥1C．8的立方根是2D.若点(2,)-3)PaQ和点（b，关于x轴对称，则ab的值为5.4.（2018•蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①；②（﹣）=16；③（）=4；④．正确的是（）A.①②B.③④C.②④D.①③5.若，则等于（）A．B．C．D．6.将aa中的a移到根号内，结果是（）2(4)4222(4)4A．3aB.3aC.3aD.3a二.填空题7.当x_________时，式子31xx没有意义。8.（2018•江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是_________.9.已知，求的值为____________10.若，则化简的结果是__________.11.观察下列各式：，，,……请你探究其中规律,并将第n(n≥1)个等式写出来________________.12.（2019•乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为．三综合题13.已知xxy211221，求22yxyx的值.14.若时，试化简.15.（2018春•武昌区期中）已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C.【解析】依题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．2．【答案】B3．【答案】D【解析】选项A:4=2是有理数；选项B:11yx的x的取值范围是x1;选项C:8的立方根是2；选项D:因为(2,)-3)PaQ和点（b，关于x轴对称，所以3,2ab，及5ab,所以选D。4．【答案】D.【解析】解：①==4，正确；②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正确；③=4符合二次根式的意义，正确；④==4≠﹣4，不正确．①③正确．故选：D．5．【答案】D【解析】因为=22(4)a，即222(4)4Aaa6．【答案】A【解析】因为a≤0，所以aa=23()()aaaaa二、填空题7.【答案】10x或x1【解析】因为x-1≥0才有意义，所以x1时无意义；因为310x，所以10x，即无意义时x=10.8.【答案】.9.【答案】5【解析】23100xxx5213,xx即21()9xx2217xx，即原式=72510.【答案】3【解析】因为原式=21xx=213xx.11．【答案】11(1)22nnnn.12．【答案】3.【解析】由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．三、解答题13.【解析】因为1+21122yxx，所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=12，y=12则2234xxyy.14.【解析】因为，所以原式==23523510xxxxxxx.15.【解析】解：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，所以，b≥c且c≥b，所以，b=c，所以，等式可变为+|a﹣b+1|=0，由非负数的性质得，，解得，所以，c=2，a+b+c=1+2+2=5，所以，a+b+c的平方根是±．