初中数学思想方法在教学中的传授

初中数学2007年11月教研综述1初中数学思想方法在教学中的传授一、问题的提出数学思想方法是数学学科的灵魂，它在数学教学中有着广泛的应用，它对于打好“双基”知识和加深对知识的理解、培养学生的思维有着独到的优势，掌握了数学思想方法，就能比较从容地驾驭数学知识，解决有关的生活问题。中学数学所蕴含的丰富内容深刻地反映了许多基本的数学思想方法，因而在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。在初中数学教材中蕴含着哪些数学思想方法呢？第一，具体的数学方法：配方法，换元法，消元法，待定系数法等；第二，科学的逻辑方法：如观察、归纳、类比、演绎、抽象、概括以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；第三，常用的数学思想：数形结合思想，方程与函数思想，建模思想，分类讨论思想和化归与转化思想等。新课标提到：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”《标准》中提供的是第三学段最终应达到的目标，根据学生的年龄特征、认知规律与知识特点，重要的数学概念与思想方法的学习可以遵循逐级递进、螺旋上升的原则，但要避免不必要的重复。然而，我们有很多教师却往往在“双基”知识上下了很多功夫，而忽视了对数学思想方法的及时渗透，甚至是放弃，造成了学生的思维能力的局限性，未能形成良好的思维品质与思维水平。这里的思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；会运用数学概念、原理、思想和方法辨明数学关系。数学思想方法在教学中的传授显得尤其重要，需引起重视。二、数学思想方法在教学中的传授（一）数学思想与数学方法的辩证关系所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序，初中数学2007年11月教研综述2这些被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法,在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。“思想方法”作为一个词语使用要看我们从哪个角度来分析。例如在解二元一次方程组时“消元”的思想方法。事实上，当我们从“化未知为已知”的角度去分析此问题时，其思想属于“化归的思想”；当我们从“化二元为一元”的角度去分析此问题时，其方法属于“消元法”；而当我们从“代入公式直接求解”的角度去分析此问题时，就出现了“代入法”。（二）教学中基本数学思想方法的传授教学中向学生传授基本数学思想方法在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。在教学中教师要做一个“渗透”的有心人，把数学思想方法渗透到我们的数学知识教学的每一个环节。以数学知识为载体，把藏于知识背后的思想方法显示出来，作为教学的一个需要完成的的目标，使之明朗化，这样才能通过知识传授过程达到思想方法教学之目的。例如应用数形结合思想方法，强调通过图形找出直角三角形中边角之间的关系，从而解决类似求特殊角的三角函数值问题。无论是案例1①还是案例2，与教材（华师大版九年级第25章）的处理吻合，体现了数形结合的思想方法，从而得到特殊角的三角函数值，形成表格，让学生记忆并通过大量的运算练习熟记。似乎已经达到教学目标，然而在课堂实施中并未真①案例节选来自18中、47中、泰安中学、天河中学、东圃中学、天荣中学。初中数学2007年11月教研综述3特殊角的三角函数在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义，求出∠A的四个三角函数值，填在下表空白处：（1）∠A＝30°（2）∠A＝60°（3）∠A＝45°让我们熟记30°、45°、60°的三角函数值，帮助以后的解题。特别注意30°、60°角的函数值的区别。练习一1、计算：（1）sin30°•cot45°（2）2cos60°+2sin30°+4tan45°（3）cos30°•tan30°+sin60°•tan45°•cot30°正体现传授基本数学思想方法的“突出”程度，学生的思维能力并没有得到进一步的提升，而此处恰恰是应用数形结合思想方法的好材料。于是，我们是否可以这样做：得出特殊角的三角函数值后，不急于产生记忆，而是通过大量的基础训练乃至综合训练，如案例3，突出数形结合思想方法在此处的应用，从而达到灵活运用的程度，然后总结归纳才产生记忆，这种在产生大量的丰富的经验下形成的记忆最有效、最深刻。案例1：30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下。在理解的基础上要熟记！巩固练习。（A）1.求下列各式的值：（1）sin30°+cos30°(2)sin45°+cos45°(3)tan60°+cot60°(4)tan45°+cot30°(5)2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜（6）2cos30°＋cot60°－2tan45°（7）sin245°＋cos260°（8）sin30゜+sin245゜-31tan260゜sincostancot30゜212333345゜22221160゜2321333案例2：案例3：练习一、已知直角三角形中，知道一特殊角（或三角函数值）和斜边，求一直角边？(通过几个简单的变式，即巩固了有关知识，也锻炼了几何思维，突出数形结合)321CBA211CBA321CBA211CBA初中数学2007年11月教研综述4练习二、思考探索：（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=23,AC=2,你能求出△ABC中其他的边和角吗？（2）已知：如图，在Rt△DEF中，∠E＝90°,EF=5,∠F=60°,你能求出△DEF中其他的边和角吗？（3）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°,∠B＝60°,你能求出△ABC中其他的边吗？若能求，则写出求解过程。（探索中展现出更多问题，讲精，讲透；从多方面，多角度去探索）又如案例4，用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。主要是培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力，运用数学思想方法去学习新的数学方法。这里有转化思想（转化有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系链”，这是提高数学解题能力的条件和基础。）即抛物线解析式中二次项系数不为1的一般式转化成系数为1的一般式，系数为1的一般式转化成顶点式。由于第1题先做铺垫，第1环节视学生情况无需讨论，甚至是教师直接告诉学生方法（一般情况下学生较难探索出来的数学方法均可以这样做）；而第2环节则必须让学生真正讨论，在讨论中感受学习数学思想方法。教师介绍方法，对于学生而言，数学思想得到渗透。为此教师还要做一个“层次”的选择者。面对学生，应该根据数学知识的内容、学生的年龄特点分层次地选题合适的数学思想内容，进行渗透和教学。这就需要我们教师全面的熟悉教材，对教材中所反映的数学思想要有明确的认识，对教材内容从思想方法的角度作认真的分析，按照各个年级学生的年龄特征，知识掌握的程度，理解能力和可接受性由浅入深、由易到难分层次地贯彻数学思想的教学。案例4：教学环节教学过程设计意图环节二：新课学习1、把抛物线522xy化为一般形式。解：5222y==2、小组讨论：（1）如果给出一个抛物线为942xxy，你能指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？（此处视学生情况决定是否讨论）1、此题是为学生进行下面的讨论所做的一个铺垫。2、通过讨论，让学生进行尝试，找出解决问题的办法，教师进行讲评时，对学生提出解决问题的不同方法，都给予积极的评价，以激发学生学习的上进心和自信心。初中数学2007年11月教研综述5（2）思考：如果给出一个抛物线为9422xxy或者942xxy，你能指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？讲评的同时要规范学生的书写格式。通过2个变式的思考问题，让学生了解二次项的系数不为1时如何处理。再如案例5，画树状图方法学习概率的计算。学生在掌握了列表法或枚举法后，教师采取了“介绍”画树状图的办法，让学生体会到用树状图解决在复杂情况下列举所有机会均等的结果的一般步骤。而学生恰恰是在讨论中确实做到用列表法或枚举法，甚至是不完整的树状图，这给了教师介绍方法的机会。然后在基础技能训练中强化数学方法的应用，并在最后设置灵活性较强的题目拓展学生思维能力。由此可见，教学中教师要有加强数学思想方法教学的意识并要在数学教学过程中不断地挖掘和渗透，向学生传授基本数学思想方法时，在“程度”上的把握非常关键。案例5：教学环节教学过程设计意图一复习回顾（一）复习回顾：1、小李手里有红桃1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，(1)牌上的数字为3的概率为．；(2)牌上的数字为奇数的概率为。2、如图25-7所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颇色分为红、绿、黄三种颇色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位里，则(1)指针指向绿色的概率为；(2)指针不指向红色的概率为。3、问题：“同时抛掷两枚面值为1元硬币”产生的所有所有机会均等的结果有____种，它们分别为_______。复习上节课的内容，明确求一个事件发生的概率的一般步骤：①先正确找到事件发生的所有机会均等的结果的个数；②然后明确我们关注的结果的个数；③最后才能正确计算事件发生的概率。在问题3中，学生可能会误认为结果只有3种情形，此时，我们可以利用列表分析清这种想法的错误原因。让学生进一步明确何为“所有机会均等的结果”。红红黄绿初中数学2007年11月教研综述6二新课学习1、小组讨论：晓明和晓红两人正在玩同时抛三枚硬币的游戏，游戏规则规定如下：如果掷出两个正面一个反面，则晓明胜；如果掷出三个都是反面，则晓红胜。你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由。在本环节的讨论中，学生可能出现考虑问题不全面的情况，我们可以借此介绍用树状图求得各种等可能结果的方法，让学生体会的关键和一般步骤——“正确鉴别在一次试验中究竟包含着几步，每步又有几种等可能。三课堂训练C组：某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐。用树状图或列表法分析说明：（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一个人在B餐厅用餐的概率。C组题的灵活性较大，学生很可能对于如何构件合适于这个问题的树状图存在较大的争论。我们可以根据学生的情况对此题进行分析点评。五课堂反思本课预计学生在“小组讨论”部分学生会出现学生可能出现考虑问题不全面的情况，但在课堂中，我们恰恰可以以此为契机，给学生介绍用树状图求得各种等可能结果的方法，让学生体会到树状图分析问题的优越性。学生在完成A、B组题时，应该问题不是很大，但是在C组题，学生对于是餐厅A、B在树状图中还是甲、乙、丙在图中会比较混乱，C组题可以