高中数学数列求和方法

1/6数列求和(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和等差数列：2)1(2)(11dnnnaaanSnn；等比数列：11)1(111qqqaqnaSnn；(2)分组求和：如：求1+1,41a,712a,…,2311nan,…的前n项和可进行分组即：2374111111132naaaan前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和（注：12)13(12)13(annannSn）(3)裂项法：如)2(1nnan，求Sn，常用的裂项111)1(1nnnn，)211(21)2(1nnnn；])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn(4)错位相减法：其特点是cn=anbn其中{an}是等差，{bn}是等比如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n－1)xn－1注意讨论x，1)1()1()12()12(1212xxxxnxnxnSnnn(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n—1)Cnn=(n+1)2n►名题归类例释错位相减法：2/6例1求数例1，3a，5a2，7a3，…(2n－1)an-1，…(a≠1)的前n项和．解：因Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an-1，(1)(1)×a得aSn=a＋3a2＋5a3＋…(2n－3)an-1＋(2n－1)an，（2）两式相减得(1－a)Sn=1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an-1－(2n－1)an=2(1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1)－(2n－1)an-1=1)12(1)112nnanaa（所以:aanaaSnnn11)12()1()1(22裂项求和法：例2求和：)(,32114321132112111*Nnn解：)1(2211kkkak，])1n(n1321211[2Sn1211121113121211[2nnnnn分部求和法：新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3/6例3已知等差数列na的首项为1，前10项的和为145，求.242naaa解：首先由3145291010110ddaS则12(1)32322nnnaandna22423(222)2nnaaan12(12)32322612nnnn倒序相加法：例4设数列na是公差为d，且首项为da0的等差数列，求和：nnnnnnCaCaCaS11001解：因为nnnnnnCaCaCaS11001（1）00111nnnnnnnnCaCaCaS（2）（1）+（2）得01101102()()()nnnnnnnnSaaCaaCaaC0100()()()2nnnnnnnaaCCCaa110()2nnnSaa常规题型：例1．已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；解：(1)由S1n=4a2n，S2n=4a1n+2，两式相减，得S2n-S1n=4(a1n-an)，即a2n=4a1n-4an．a2n-2a1n=2(a1n-2an)，又bn=a1n-2an，所以b1n=2bn①已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3②由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·21n．4/6例2．设二次方程nax2-na+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用na表示a1n；3121,236,326111nnnnnnnaaaaaaa（2）213232)32(2131213211nnnnnaaaaa例3．数列na中，2,841aa且满足nnnaaa122*Nn⑴求数列na的通项公式；⑵设||||||21nnaaaS，求nS；解：（1）由题意，nnnnaaaa112，}{na为等差数列，设公差为d，由题意得2382dd，nnan210)1(28.（2）若50210nn则，||||||,521nnaaaSn时5/621281029,2nnaaannn6n时，nnaaaaaaS765214092)(2555nnSSSSSnn故nS409922nnnn65nn►连线高考填空题：1、（湖南卷）若数列na满足：1.2,111naaann，2，3….则naaa21.解：数列na满足：111,2,1nnaaan，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴naaa21212121nn.2、（山东卷）设nS为等差数列na的前n项和，4S＝14，S10－7S＝30，则S9＝.解：设等差数列na的首项为a1，公差为d，由题意得,142)14(441da30]2)17(77[]2)110(1010[11dada，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝5412)19(9293、（浙江卷）设nS为等差数列na的前n项和，若5,10105SS,则公差为（用数字作答）。解析：设首项为1a，公差为d，由题得141491922254510101051111ddddadadada4、(重庆卷)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=_________.解析：在数列na中，若111,23(1)nnaaan，∴132(3)(1)nnaan，即{3na}是以134a为首项，2为公比的等比数列，113422nnna，所以该数列的通项na123n.解答题：6/65、（北京卷）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…（Ⅱ）由6,0,7711114aaS得6,010,11132111adada即122,0202,11132111adada由①+②得－7d＜11。即d＞－711。由①+③得13d≤－1，即d≤－131于是－711＜d≤－131又d∈Z,故d=－1将④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…