第4章 机械振动

1第4章机械振动§4-1简谐振动的动力学特征§4-2谐振动的运动学§4-3简谐振动的能量§4-4简谐振动的合成§4-5阻尼振动受迫振动共振2狭义振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。振动中最简单最基本的是简谐振动。简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。)tcos(Ax03一、几个谐振动的实例１、弹簧振子构成：轻质弹簧与刚体联结条件：位移在弹性限度内，无阻尼时的自由振动阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动只在系统内部回复力作用下运动。X0回上页下一页回首页§4-1简谐振动的动力学特征4（1）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点。（3）惯性的作用整个系统是在内部线性回复力和惯性的交互作用下来实现振动的。回复力与位移正比而反向（线性回复力），即（2）弹性回复力的特点：此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。F=-kxX0xFK回上页下一页回首页5（4）弹簧振子的运动微分方程mk2令0222xdtxd则得kxdtxdm22)cos(0tAx解微分方程得：回上页下一页回首页以振子为对象,由牛顿定律：6（1）平衡位置与坐标原点：铅直位置为角平衡位置，o为角坐标原点。（2）回复力矩的特点：重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：sinmglM负号表示力矩方向始终与角位置方向相反0::,(5)构成一端固定的不可伸长的轻绳与质点固联条件在重力作用下在竖直平面内作小角度的摆动２、单摆olRo/o0lgmT/o0回上页下一页回首页7根据麦克劳林展开53!51!31sin略去高阶无穷小后mglM（3）惯性的作用：此处的惯性指摆球对过0的水平轴的转动惯量Iml2回上页下一页回首页（4）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：mgldtdml222令2gl0222dtd则得方程的解为00cost82）复摆运动微分方程３、复摆Imgh2令0222dtd则得sinmghMmghM──式中h指质心到悬点的距离mghdtdI22由定轴转动的转动定律：方程的解为00cost⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙c●hmg回上页下一页回首页1）定义：构成：刚体绕水平光滑轴转动条件：同单摆9二、简谐振动的特征1、动力学特征：0222xdtxd其谐振动的微分方程：2、运动学特征：谐振动的运动学方程)cos(0tAx式中A、是由初始条件所决定的两个积分常数0振动系统所受的力是线性回复力（力矩）物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数。回上页下一页回首页F=-kxMmglmghM10例1:弹簧下面悬挂一物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。证：以平衡位置A为原点，向下为x轴正向，设某一瞬时m的坐标为x，则物体在振动过程中的运动微分方程为mglxkdtxdm)(22mglk因为,22kxdtxdm0222xdtxd即有：这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统。xAx0mgF回上页下一页回首页式中是弹簧挂上重物后的静伸长l11一、谐振动的运动学方程以弹簧振子为例，其动力学方程为0222xdtxd该方程的解0costAx即为谐振动的运动学方程式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。回上页下一页回首页§4-2谐振动的运动学xtAdtdvatAdtdxv2020)cos()sin(12二、描述谐振动的三个物理量1、振幅A──由初始条件x0、v0决定)sin()cos(00tAVtAx令t=0则)2()1(sincos0000AVAx222122020VxA得（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间2、周期T（频率、圆频率ω、固有圆频率）)cos(0tAx0cos()AtT)2cos(0tA2T2T或回上页下一页回首页13(3)圆频率：２秒内完成的完全振动的次数固有角频率Imghmklg222复摆弹簧振子单摆回上页下一页回首页(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数21T即＝２固有振动周期mghITkmTglT222(4)固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率143、位相：位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之相──取其具有周期性。）)sin()cos(100tAvtAx能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是0t(2)初位相t=0时的位相0(位——位置；相——变化的态势）回上页下一页回首页(0,2)(,)or0000sincosAvAx000xvtg取使x0、v0均满足的值150sin0cos0000AvAx200sincos0000AvAAx0X0t=0时,x0=0,v00vX0t=0时,x0=-A,v0=0-A回上页下一页用分析法确定初位相0sincos0000AvAAx00t=0时，x0=A,v0=0.X0X0=+A160sin2cos0000AvAAx30X0A／2t=0时,x0=A/2,v00v回上页下一页回首页0sin0cos0000AvAx230X0vt=0时,x0=0,v001700AXoXotxXo-AXoAXo2/002/30tx20txtxtx)2/()0(018谐振动的速度，加速度特点)sin()cos(00tAvtAx由22xAv（i）位移最大处vnim0，平衡位置处Avmax2)加速度特征：1)速度特征：xtAdtxda20222)cos(（i）在位移最大处Aamax2，平衡位置处anim0（ii）xa（ii）“±”表示对应于每一个坐标值，有两种可能的方向回上页下一页回首页1954.025)(cmAa解102.023)(cmAb例2:振动曲线如图(a)(b)所示，写出它们的振动方程。500.40.60.2t(s)x(cm)(a)300.20.30.1t(s)X(cm)(b)回上页下一页回首页时，otAxcmtXa)5cos(50a0,0时000v，xtcmtXb)2310cos(3)2(23或20解：2A55222sin(5/2)2cos(5)2cos(5)xttt015t2sin(5/2)xt例3：已知谐振子的振动方程为(SI),求振幅、圆频率、频率、初位相、以及t=1s时的位相。21例4:如图，倔强系数为Ｋ的直立弹簧下端固定，上端与物块Ｃ相连，另一物块Ｂ在离Ｃ为h高处自由落下与Ｃ发生完全非弹性碰撞，设两物块质量均为m①试写出该系统的振动表达式②使两物块碰后能一起振动而不分离时h的最大值解：①B物下落h时末速ghv2②B、C发生完全非弹性碰撞，动量守恒：mVmv2③以B，C均压在弹簧上静平衡为坐标原点，向下为x轴正向，B，C发生碰撞完结瞬时开始计，则该谐振动系的初始条件为：2ghV得20ghvkmgx0BChK回上页下一页回首页22mk2式中④因此系统振动表达式为222cos2mgmghkkhxtarctgkkmmggkmghkgmmkgA222222222224kgmkmghkgm3mghk得kmghkgmvxA2222020则第三象限mgkhxvtg00⑤两物竖直方向向下运动时的加速度不能大于g即：回上页下一页回首页23例5:一质量为M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处速度是24cm/s，求：（1）周期T；（2）当速度是12cm/s时的位移。解（1）22xAv22xAv代入有关数值3.206.012.024.0227.32T（2）mvAx108.03.212.012.02222回上页下一页回首页24例6:有一轻弹簧，当下端挂一个质量ｍ1＝10ｇ的物体而平衡时，伸长量为4.9ｃｍ．用这个弹簧和质量ｍ2＝16ｇ的物体连成一弹簧振子．若取平衡位置为原点，向上为ｘ轴的正方向．将ｍ2从平衡位置向下拉2ｃｍ后，给予向上的初速度ｖ0＝5cm/s并开始计时，试求ｍ2的振动周期和振动的数值表达式．220.56mTsk211.2/kradsm取下ｍ1挂上ｍ2后回上页下一页回首页ｋΔl＝ｍ1gｋ＝ｍ1g/Δl＝2(Ｎ／ｍ)解：设弹簧的原长为，悬挂ｍ1后伸长，则l0l25ｔ＝０时，ｘ0＝－2×10-2mｖ0＝5×10-2ms-1mvxA220201005.2)/(解得φ＝tg-1（－ｖ0／ωｘ0）＝12.6°或在第三象限，φ0＝180°＋12.6°振动表达式为ｘ＝2.05×10-2cos（11.2ｔ－2.92）（ＳＩ）应取φ0＝180°+12.6°＝192.6°＝3.36rad也可写成φ0＝－2.92rad回上页下一页回首页26三、简谐振动的旋转矢量表示法0t=0Axt+0t=tA0cos()xAtoX27回上页下一页回首页参考圆、参考点：(1)所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参考点。参考点在坐标轴上的投影才是谐振动（2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限由图可知:x0,v0,φ在第I象限x0,v0,φ在第Ⅱ象限x0,v0,φ在第III象限x0,v0,φ在第Ⅳ象限X1x4x2x3x12341v2v3v4v28位相差两个振动在同一时刻t的位相差Δφ=φ2-φ1=(ω2t+φ20)-(ω1t+φ10)=(ω2-ω1)t+(φ20-φ10)x1=A1cos(ω1t+φ10)x2=A2cos(ω2t+φ20)1）两个简谐振动的位相差若ω1=ω2，回上页下一页回首页则Δφ=φ20-φ10当φ=2k,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相当φ=(2k+1),两振动步调相反,称反相0φ2超前于φ1或φ1滞后于φ2位相差反映了两个振动不同程度的参差错落29一个谐振动从一个状态到另一个状态经历的时间间隔为Δt=t2－t1=Δφ／ω=Δφ·T／2π2）同一振动在不同时刻的位相差同一振动在t1、t2时刻的位相差为Δφ=(ωt2+φ0)-(ωt1+φ0)=ω(t2-t1)30用旋转矢量表示相位关系x1A2Ax1A2Ax1A2A同相反相31200cos()cos()maAtat0cos()xAt00sin()cos()2mvAtvt谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavx...xvaT/4T/432)2cos(tvvmx)2cos(tAcos()xmaa