正弦定理知识点

1．1．1正弦定理课上讲解：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC=2R其中R为三角形外接圆半径。2.正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。3.常用变形：①CBA②CBACBAsin)cos(,sin)sin(③CabSabcsin21题型一：已知两角和一边（唯一确定）例1.已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000.变式练习1：1.已知ΔABC，已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:A.3B.2C.3D.22.已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）A.8B.4C.43-3D.83-83.已知a+b=12，B=450，A=600则a=_____，b=_____题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由y=sinx的性质决定）例2.在CAacBbABC,,1,60,30和求中，变式练习1：CBbaAcABC,,2,45,60和求中，变式练习2：02,135,3,ABCaAbB中，求变式练习3：在ABC中，已知角334,2245bcB，，则角A的值是A.15B.75C.105D.75或15变式练习4：在ABC中，若14,6760abB，，则A=。题型三：外接圆问题例3.试推导在三角形中Aasin=Bbsin=Ccsin=2R其中R是外接圆半径变式练习1：在△ABC中，kCcBbAasinsinsin,则k为(A奎屯王新敞新疆2RB奎屯王新敞新疆RC奎屯王新敞新疆4RD奎屯王新敞新疆R21(R为△ABC外接圆半径)变式练习2：在ABC中，5,40,20cBAoo，则R2为（）A、3310B、10C、25D、210变式练习3：在ABC中，ARbBRacos2cos2（）A、BAsinsinB、)sin(BAC、)sin(BAD、)cos(BA变式练习4：设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．题型四：比例问题例4.在ABC中,已知,coscoscosabcABC判断ABC的形状．变式练习1：已知ABC满足条件coscosaAbB，判断ABC的类型。变式练习2：△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A奎屯王新敞新疆B奎屯王新敞新疆C奎屯王新敞新疆等边三角形D奎屯王新敞新疆等腰三角形变式练习3：在三角形ABC中，A为锐角，2lgsinlg1lglgAcb，则三角形ABC是（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形例5.在ABC中，三个内角之比3:2:1::CBA，那么cba::等于____变式练习1：在△ABC中,cbaBA::,60,30则若变式练习2：在△ABC中,A:B:C=4:1:1,则a:b:c=()A4:1:1B2:1:1C2:1:1D3:1:1变式练习2：在ABC中，B=1350，C=150，a=5则此三角形的最大边长为_____变式练习3：已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为________变式练习4：在△ABC中,CBAsin:sin:sin6:5:4，则(2b+c):(3c+a):(a+4b)=_______________变式练习5：△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，aAbBAa2cossinsin2．求ba例6.在ABC中，已知Bcbsin2，求C的度数变式练习1：在△ABC中，若3a=2bsinA，则∠B为()A.3πB.6πC.6π或6π5D.3π或3π2CBA技巧的应用：例7.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且272cos2sin42ACB.(1)求∠A的大小；(2)若a=3，b+c=3，求b和c的值.变式练习1：△ABC中，若sin(A+B)sin(A-B)=sin2C，则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形变式练习2：若△ABC的三内角A，B，C满足sinA2sinCcosB，则△ABC为_______三角形.变式练习3：已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.变式练习4：在ABC中，31s,1)sin(inBAC，1）求Asin的值；2）设6AC,求ABC的面积.题型五：面积问题例8.在△ABC中，120,30,6BAAB,则三角形ABC的面积为变式练习1：在△ABC中，b=8，c=38，S△ABC=316，则∠A等于()A.30ºB.60ºC.30º或150ºD.60º或120º变式练习2：已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为()A．9B．18C．93D．183变式练习3：若△ABC的三边长分别为4，5，7，则△ABC的面积，内切圆半径.变式练习4：如图△ABC中，点D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积.提高题：1.如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：BDABDCAC高考真题：1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB2、（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在ABCV中，60,3BAC，则2ABBC的最大值为.3、（2011·北京高考理科·T9）在ABC中，若5,,tan24bBA，则sinA；4、（2011·北京高考文科·T9）在ABC中，若15,,sin43bBA，则a=.5、(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝6、在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于______，AC的取值范围为________．7、在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是三角形8、.在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝π6，则△ABC的面积等于9、锐角△ABC中，若A＝2B，则ab的取值范围是；10、(浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB·ACABCD＝3.求△ABC的面积11、已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.12、（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，12cos()0BC，求边BC上的高.13.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，aAbBAa2cossinsin2．求ba；14、（2011·山东高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA-2cosC2c-a=cosBb.求sinsinCA的值；15、（2011·湖南高考理科·T17）（12分）在中，ABC角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.（1）求角C的大小；（2）求)4cos(sin3BA的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.16、（2011·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在ABC中，角ABC，，所对的边分别为a,b,c.已知sinsinsin,ACpBpR且214acb.（Ⅰ）当5,14pb时，求,ac的值；